Nhị thức Newton

Bạn đã biết $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Còn $(a+b)^5$ thì sao? Nhân năm ngoặc bằng tay vừa chậm vừa dễ sai, nhưng có một quy luật, và nó xuất phát từ việc đếm: mỗi số hạng hình thành khi chọn $a$ hoặc $b$ từ mỗi ngoặc. Đó chính xác là điều các hệ số nhị thức $C_n^k$ đếm.

Các luỹ thừa nhỏ và tam giác Pascal

$$\begin{aligned}(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\\(a+b)^3&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\(a+b)^4&=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\end{aligned}$$

Các hệ số $1, 2, 1$ rồi $1, 3, 3, 1$ rồi $1, 4, 6, 4, 1$ tạo thành tam giác Pascal: mỗi số bằng tổng hai số ở ngay phía trên, vì $C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$.

$$\begin{array}{ccccccccccccc} & & & & & & 1 & & & & & & \\ & & & & & 1 & & 1 & & & & & \\ & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & \\ & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & \\ & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & \\ 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 \end{array}$$

Hàng thứ $n$ của tam giác liệt kê $C_n^0, C_n^1, \dots, C_n^n$.

Công thức nhị thức Newton

Chỉ tìm một hệ số

Bạn hiếm khi cần cả khai triển. Hãy viết số hạng tổng quát rồi chọn đúng $k$.

Tổng các hệ số và giá trị gần đúng

Thay $x=1$ vào một đa thức cho tổng các hệ số của nó. Thay $a=b=1$ vào công thức cho $\sum_{k}C_n^k=2^n$.

Thuật ngữ

Tóm tắt

• $(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k$, có $n+1$ số hạng.
• Các hệ số là hàng thứ $n$ của tam giác Pascal.
• $T_{k+1}=C_n^ka^{n-k}b^k$; cho số mũ của $x$ bằng giá trị cần tìm để suy ra $k$.
• Tổng các hệ số: thay $x=1$. Giá trị gần đúng: dùng vài số hạng đầu.

Luyện tập

Xem lời giải

1. Hàng $5$: $1, 5, 10, 10, 5, 1$. $(x+1)^5=x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$.
2. Hàng $4$ với $b=-2$: $x^4-8x^3+24x^2-32x+16$.
3. $T_{k+1}=C_5^k3^{5-k}x^k$. Với $k=2$: $C_5^2\cdot3^3=10\cdot27=270$.
4. $T_5=T_{4+1}=C_7^4a^3b^4=35\,a^3b^4$.
5. $T_{k+1}=C_8^k(-x)^k$. Với $k=4$: $C_8^4=70$ (dấu là $+$ vì $(-1)^4=1$).
6. Thay $x=1$: $(2-3)^4=1$.
7. Đây là $(1+1)^6=2^6=64$.
8. $T_{k+1}=C_6^k(x^2)^{6-k}x^{-k}=C_6^kx^{12-3k}$. Số mũ bằng $0$ khi $k=4$: $C_6^4=15$.
9. $1{,}02^6\approx1+6(0{,}02)+15(0{,}02)^2=1+0{,}12+0{,}006=1{,}126$. (Giá trị chính xác $1{,}1262$ làm tròn đến bốn chữ số thập phân.)
10. Hệ số của $x^3$ là $C_5^3+C_6^3=10+20=30$.