Ba đường conic

Các hành tinh quay quanh Mặt Trời theo quỹ đạo elip. Chảo ăn-ten vệ tinh thu tín hiệu về đúng một điểm vì mặt cắt của nó là parabol. Tháp làm mát của nhà máy điện có hình hypebol quay quanh một trục. Ba đường cong này, cùng với đường tròn, được gọi là các đường conic, và mỗi đường có một định nghĩa ngắn gọn theo khoảng cách đến những điểm đặc biệt.

Elip

Với $F_1(-c; 0)$, $F_2(c; 0)$ và $b^2=a^2-c^2$, phương trình là $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\qquad(a>b>0).$$ Các đỉnh là $(\pm a; 0)$ và $(0; \pm b)$; $2a$ là độ dài trục lớn, $2b$ là độ dài trục nhỏ.

Hypebol

Với các tiêu điểm $(\pm c; 0)$ và $b^2=c^2-a^2$: $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$$ Các đỉnh là $(\pm a; 0)$ và đường cong tiến gần các đường tiệm cận $y=\pm\frac{b}{a}x$.

Parabol

Với $F\left(\frac p2; 0\right)$ và $\Delta: x=-\frac p2$ ($p>0$), phương trình là $$y^2=2px.$$

Vận dụng định nghĩa

Thuật ngữ

Tóm tắt

• Elip: $MF_1+MF_2=2a$, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, $c^2=a^2-b^2$.
• Hypebol: $|MF_1-MF_2|=2a$, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, $c^2=a^2+b^2$, tiệm cận $y=\pm\frac bax$.
• Parabol: khoảng cách đến $F$ bằng khoảng cách đến $\Delta$; $y^2=2px$, tiêu điểm $\left(\frac p2; 0\right)$, đường chuẩn $x=-\frac p2$.

Luyện tập

Xem lời giải

1. $a=7$, $b=5$, $c^2=49-25=24$, nên $c=2\sqrt6$. Tiêu điểm $(\pm2\sqrt6; 0)$; các đỉnh $(\pm7; 0)$ và $(0; \pm5)$.
2. $c=2$, $a=3$, $b^2=9-4=5$: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$.
3. $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$: $a=3$, $b=2$, $c=\sqrt5$, các tiêu điểm $(\pm\sqrt5; 0)$.
4. $a=5$, $b=12$, $c=\sqrt{25+144}=13$. Các tiêu điểm $(\pm13; 0)$; các đường tiệm cận $y=\pm\frac{12}{5}x$.
5. $a=2$, $c^2=13$, $b^2=13-4=9$: $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$.
6. $2p=8$, nên $p=4$. Tiêu điểm $(2; 0)$; đường chuẩn $x=-2$.
7. $\frac p2=\frac32$, nên $p=3$: $y^2=6x$.
8. $\frac{25}{9}-\frac{(16/3)^2}{16}=\frac{25}{9}-\frac{256}{144}=\frac{25}{9}-\frac{16}{9}=1$ ✓. Các tiêu điểm $(\pm5; 0)$: $PF_2=\frac{16}{3}$ và $PF_1=\sqrt{100+\frac{256}{9}}=\frac{34}{3}$. Hiệu bằng $\frac{18}{3}=6=2a$ ✓.
9. Với elip này $MF_2=5-\frac45x$. Cho $5-0{,}8x=3$ được $x=2{,}5$, rồi $y^2=9\left(1-\frac{6{,}25}{25}\right)=6{,}75$, $y=\pm\frac{3\sqrt3}{2}$. Các điểm là $\left(2{,}5; \pm\frac{3\sqrt3}{2}\right)$. Kiểm tra: $\sqrt{1{,}5^2+6{,}75}=\sqrt9=3$ ✓.
10. Đặt đỉnh tại gốc toạ độ, trục đối xứng là $Ox$: điểm ở mép chảo là $(0{,}5; 1)$. $1^2=2p\cdot0{,}5$ cho $p=1$, nên tiêu điểm cách đỉnh $\frac p2=0{,}5$ m.