Hàm số bậc hai

Hãy ném một quả bóng lên cao. Nó bay lên, chậm dần, dừng lại trong khoảnh khắc rồi rơi xuống; quỹ đạo là một đường cong gọi là parabol. Đường cong này cũng xuất hiện ở vòm cầu, ăng-ten chảo vệ tinh và đồ thị lợi nhuận theo giá bán. Tất cả đều được mô tả bởi một hàm số bậc hai, và biết điểm cao nhất hay thấp nhất của nó giúp trả lời câu hỏi "tốt nhất ta làm được đến đâu?".

Hàm số $y=ax^2+bx+c$

Giá trị $|a|$ quyết định parabol "hẹp" hay "rộng".

Các parabol

y=x^2

y=-x^2

và

y=\frac12x^2

Vẽ phác parabol

Để vẽ phác $y=ax^2+bx+c$ : (1) tìm đỉnh; (2) vẽ trục đối xứng; (3) tìm giao điểm của đồ thị với các trục ( $x=0$ cho $y=c$ ; $y=0$ cho các nghiệm, nếu có); (4) dùng tính đối xứng qua trục.

y=x^2-4x+3

Bảng biến thiên

Bảng biến thiên cho biết hàm số đi lên hay đi xuống ở đâu. Với $y=x^2-4x+3$ ( $a>0$ ):

$x$	$-\infty$		$2$		$+\infty$
$y$	$+\infty$	nghịch biến	$-1$	đồng biến	$+\infty$

Với $a>0$ : nghịch biến trên $\left(-\infty; -\frac{b}{2a}\right)$ , đồng biến trên $\left(-\frac{b}{2a}; +\infty\right)$ , giá trị nhỏ nhất là $-\frac{\Delta}{4a}$ . Với $a<0$ thì ngược lại và $-\frac{\Delta}{4a}$ là giá trị lớn nhất.

y=-x^2+2x+3

Tìm công thức của hàm số

Phép tịnh tiến: $y=a(x-p)^2+q$

Hoàn thành bình phương cho $ax^2+bx+c=a(x-p)^2+q$ với $p=-\frac{b}{2a}$ và $q=-\frac{\Delta}{4a}$ . Vậy đỉnh là $(p; q)$ . Đồ thị là parabol $y=ax^2$ được tịnh tiến sang phải $p$ đơn vị và lên trên $q$ đơn vị (sang trái hoặc xuống dưới nếu âm).

y=2x^2

tịnh tiến thành

y=2(x-1)^2+3

Khai triển, $2(x-1)^2+3=2x^2-4x+5$ có đỉnh $\left(\frac{4}{4}; \frac{-(16-40)}{8}\right)=(1; 3)$ . ✓

Ứng dụng

Độ cao của quả bóng

Ví dụ Diện tích lớn nhất

Một bác nông dân có $40$ m hàng rào và muốn rào một chuồng hình chữ nhật có một cạnh dựa vào bức tường thẳng (cạnh này không cần rào). Các kích thước nào cho diện tích lớn nhất?

Lời giải.

Gọi hai cạnh vuông góc với tường dài $x$ m. Cạnh song song với tường dài $40-2x$ , với $0<x<20$ .
Diện tích $S(x)=x(40-2x)=-2x^2+40x$ .
$a=-2<0$ : giá trị lớn nhất đạt tại $x=-\dfrac{40}{2\cdot(-2)}=10$ , và $S(10)=-200+400=200$ .
Chuồng nên có kích thước $10$ m $\times$ $20$ m; diện tích lớn nhất là $200$ m $^2$ .

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
hàm số bậc hai	quadratic function
parabol	parabola
đỉnh	vertex
trục đối xứng	axis of symmetry
biệt thức $\Delta$ (delta)	discriminant
bảng biến thiên	table of variation
giá trị nhỏ nhất	minimum value
giá trị lớn nhất	maximum value
phép tịnh tiến	translation

Tóm tắt

Đồ thị của $y=ax^2+bx+c$ là parabol có đỉnh $\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a}\right)$ và trục đối xứng $x=-\frac{b}{2a}$ .
$a>0$ : bề lõm hướng lên, giá trị nhỏ nhất tại đỉnh. $a<0$ : bề lõm hướng xuống, giá trị lớn nhất tại đỉnh.
Vẽ phác bằng đỉnh, các giao điểm với trục và tính đối xứng; tóm tắt bằng bảng biến thiên.
$y=a(x-p)^2+q$ có đỉnh $(p; q)$ .
Dùng đỉnh để giải bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; luôn kiểm tra miền giá trị cho phép của $x$ .

Luyện tập

Tìm đỉnh, trục đối xứng và các giao điểm với trục hoành của $y=x^2-6x+5$ .
Với $y=-2x^2+4x+1$ , cho biết bề lõm parabol hướng lên hay xuống và tìm đỉnh.
Tìm giá trị nhỏ nhất của $y=3x^2-12x+7$ và điểm đạt giá trị đó.
Lập bảng biến thiên của $y=-x^2+4x$ và cho biết giá trị lớn nhất.
Tìm hàm số bậc hai có parabol với đỉnh $(1; -4)$ và đi qua $(3; 0)$ .
Tìm hàm số bậc hai có đồ thị đi qua $A(0; 1)$ , $B(1; 0)$ , $C(2; 3)$ .
Mô tả cách thu được đồ thị của $y=x^2-2x-3$ từ đồ thị của $y=x^2$ .
Độ cao của một quả bóng là $h(t)=-5t^2+10t$ mét sau $t$ giây. Tìm độ cao lớn nhất và thời điểm quả bóng trở lại mặt đất.
Thử thách. Một hình chữ nhật có chu vi $60$ m. Kích thước nào cho diện tích lớn nhất và diện tích đó bằng bao nhiêu?
Thử thách. Với những giá trị nào của $m$ thì giá trị nhỏ nhất của $y=x^2-2mx+3$ bằng $2$ ?

Xem lời giải

$x_I=3$ , $y_I=9-18+5=-4$ . Đỉnh $(3; -4)$ , trục $x=3$ . $x^2-6x+5=0$ cho $x=1$ hoặc $x=5$ .
$a=-2<0$ : bề lõm hướng xuống. $x_I=-\dfrac{4}{-4}=1$ , $y_I=-2+4+1=3$ . Đỉnh $(1; 3)$ .
$a=3>0$ nên có giá trị nhỏ nhất tại $x=\dfrac{12}{6}=2$ : $y=12-24+7=-5$ . Giá trị nhỏ nhất là $-5$ tại $x=2$ .
$a=-1<0$ , đỉnh tại $x=2$ , $y=-4+8=4$ .

$x$	$-\infty$		$2$		$+\infty$
$y$	$-\infty$	đồng biến	$4$	nghịch biến	$-\infty$

Giá trị lớn nhất là $4$ tại $x=2$ . 5. $y=a(x-1)^2-4$ . Đi qua $(3; 0)$ : $4a-4=0$ , $a=1$ . Vậy $y=(x-1)^2-4=x^2-2x-3$ . 6. $c=1$ (từ $A$ ). $B$ : $a+b+1=0$ . $C$ : $4a+2b+1=3$ , suy ra $2a+b=1$ . Trừ hai phương trình: $a=2$ , $b=-3$ . $y=2x^2-3x+1$ . Kiểm tra $C$ : $8-6+1=3$ ✓. 7. $x^2-2x-3=(x-1)^2-4$ . Tịnh tiến parabol $y=x^2$ sang phải một đơn vị và xuống dưới bốn đơn vị. 8. Giá trị lớn nhất đạt tại $t=-\dfrac{10}{-10}=1$ giây: $h(1)=-5+10=5$ m. $h=0$ : $-5t(t-2)=0$ , nên quả bóng chạm đất tại $t=2$ giây. 9. Gọi hai cạnh là $x$ và $30-x$ . Diện tích $S=x(30-x)=-x^2+30x$ , lớn nhất tại $x=15$ , $S=225$ . Đó là hình vuông cạnh $15$ m, diện tích $225$ m $^2$ . 10. $y=(x-m)^2+3-m^2$ , nên giá trị nhỏ nhất là $3-m^2$ . Cho $3-m^2=2$ được $m^2=1$ , nên $m=1$ hoặc $m=-1$ .