Mệnh đề

"Đội trường mình sẽ thắng vào thứ Bảy." "Mọi số nguyên tố đều là số lẻ." " $2+2=5$ ." Toán học, cũng như một lập luận chặt chẽ, được xây từ những câu có thể đánh giá được: hoặc đúng, hoặc sai. Bài này giúp em nói chính xác điều mình muốn nói và kiểm tra xem nó đúng hay sai.

Mệnh đề là gì?

Câu như (d), chứa biến và trở thành mệnh đề khi cho biến một giá trị cụ thể, gọi là mệnh đề chứa biến. Ta kí hiệu $P(x)$ , chẳng hạn $P(x)$ : " $x+1=5$ ". Khi đó $P(4)$ đúng còn $P(0)$ sai.

Mệnh đề phủ định

Mệnh đề phủ định của mệnh đề $P$ , kí hiệu $\overline{P}$ , nói điều ngược lại. Nó đúng khi $P$ sai và sai khi $P$ đúng.

$P$	$\overline{P}$
đúng	sai
sai	đúng

Mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương

Hãy nghĩ đến một lời hứa: "Nếu con đỗ thì bố mua điện thoại cho con." Ta viết $P \Rightarrow Q$ với $P$ : "con đỗ", $Q$ : "bố mua điện thoại".

Định nghĩa Mệnh đề kéo theo

Mệnh đề "nếu $P$ thì $Q$ ", kí hiệu $P \Rightarrow Q$ , chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai. Các trường hợp còn lại đều đúng.

$P$	$Q$	$P \Rightarrow Q$
đúng	đúng	đúng
đúng	sai	sai
sai	đúng	đúng
sai	sai	đúng

Lời hứa chỉ bị phá vỡ khi con đỗ mà không có điện thoại. Nếu con trượt thì lời hứa không nói gì, nên không bị phá vỡ.

Mệnh đề đảo của $P \Rightarrow Q$ là $Q \Rightarrow P$ . Một mệnh đề kéo theo đúng có thể có mệnh đề đảo sai.

Chẳng hạn, "tam giác có ba cạnh bằng nhau $\Leftrightarrow$ tam giác có ba góc bằng nhau" là mệnh đề đúng.

Điều kiện cần, điều kiện đủ

Khi $P \Rightarrow Q$ đúng, ta nói:

$P$ là điều kiện đủ để có $Q$ (biết $P$ là đủ để chắc chắn có $Q$ );
$Q$ là điều kiện cần để có $P$ (nếu không có $Q$ thì không thể có $P$ ).

Khi $P \Leftrightarrow Q$ đúng, mỗi mệnh đề là điều kiện cần và đủ của mệnh đề kia.

Kí hiệu "với mọi" và "tồn tại"

$\forall$ đọc là "với mọi". Mệnh đề $\forall x \in X,\ P(x)$ nói rằng $P(x)$ đúng với mọi $x$ thuộc $X$ .
$\exists$ đọc là "tồn tại" (có ít nhất một). Mệnh đề $\exists x \in X,\ P(x)$ nói rằng có ít nhất một $x$ thuộc $X$ làm cho $P(x)$ đúng.

Phủ định của mệnh đề có kí hiệu $\forall$ , $\exists$

Để chứng tỏ "mọi vật đều có tính chất $P$ " là sai, chỉ cần một vật không có tính chất đó. Để chứng tỏ "có một vật có tính chất $P$ " là sai, phải chứng tỏ không vật nào có tính chất đó. Do đó:

Bác bỏ bằng phản ví dụ

Để chứng minh mệnh đề " $\forall x,\ P(x)$ " là sai, chỉ cần chỉ ra một giá trị $x$ làm cho $P(x)$ sai. Giá trị đó gọi là phản ví dụ. (Ví dụ minh hoạ không bao giờ chứng minh được mệnh đề "với mọi", nhưng một phản ví dụ thì bác bỏ được nó.)

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
mệnh đề	statement
mệnh đề phủ định	negation
mệnh đề kéo theo	implication
mệnh đề đảo	converse
mệnh đề tương đương	equivalence
điều kiện cần	necessary condition
điều kiện đủ	sufficient condition
kí hiệu lượng từ	quantifier
phản ví dụ	counter-example

Tóm tắt

Mệnh đề là câu đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai; câu chứa biến trở thành mệnh đề khi biến nhận giá trị cụ thể.
$\overline{P}$ có giá trị đúng sai ngược với $P$ . $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.
$P \Leftrightarrow Q$ nghĩa là $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ . Nếu $P \Rightarrow Q$ : $P$ là điều kiện đủ của $Q$ , $Q$ là điều kiện cần của $P$ .
Phủ định của $\forall$ là $\exists$ và phủ định của $\exists$ là $\forall$ , đồng thời phủ định tính chất.
Một phản ví dụ đủ để bác bỏ mệnh đề "với mọi".

Luyện tập

Câu nào là mệnh đề? Nếu là mệnh đề thì đúng hay sai? (a) $15$ chia hết cho $4$ . (b) $x+2>0$ . (c) Hãy mở cửa ra. (d) $2^3=8$ .
Viết mệnh đề phủ định của (a) " $17$ là số nguyên tố", (b) " $5 \ge 3$ ", (c) " $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ". Mệnh đề nào đúng, mệnh đề đã cho hay mệnh đề phủ định?
Cho $P$ : " $x=3$ " và $Q$ : " $x^2=9$ ". Phát biểu $Q \Rightarrow P$ bằng lời và xét tính đúng sai.
Phát biểu mệnh đề đảo của "Nếu một số có chữ số tận cùng là $0$ thì nó chia hết cho $5$ ." Mệnh đề ban đầu có đúng không? Mệnh đề đảo có đúng không?
Điền "cần", "đủ" hoặc "cần và đủ": (a) "ABCD là hình vuông" là điều kiện ... để "ABCD là hình chữ nhật". (b) " $a=0$ " là điều kiện ... để " $ab=0$ ". (c) " $x$ là số chẵn" là điều kiện ... để " $x+1$ là số lẻ".
Xét tính đúng sai: (a) $\forall x\in\mathbb{R},\ x^2\ge 0$ . (b) $\exists x\in\mathbb{R},\ x^2=-1$ . (c) $\exists n\in\mathbb{N},\ n^2=n$ . (d) $\forall n\in\mathbb{N},\ n^2>n$ .
Lập phủ định của " $\exists x\in\mathbb{R},\ x^2-4x+4<0$ " và cho biết mệnh đề nào trong hai mệnh đề đúng.
Dùng phản ví dụ để bác bỏ: (a) "Mọi số nguyên tố đều là số lẻ." (b) "Nếu $x^2>1$ thì $x>1$ ."
" $x^2=4 \Leftrightarrow x=2$ " có đúng không? Nếu không, hãy sửa một vế để được mệnh đề tương đương đúng.
Thử thách: với số tự nhiên $n$ , chứng minh " $n$ chẵn $\Leftrightarrow$ $n^2$ chẵn" là mệnh đề đúng.

Xem lời giải

(a) Là mệnh đề, sai ( $15=4\times 3+3$ ). (b) Không phải mệnh đề: phụ thuộc vào $x$ . (c) Không phải mệnh đề: đây là lời đề nghị. (d) Là mệnh đề, đúng.
(a) " $17$ không phải là số nguyên tố"; mệnh đề đã cho đúng, phủ định sai. (b) " $5<3$ "; mệnh đề đã cho đúng, phủ định sai. (c) " $\sqrt{2}$ không phải số hữu tỉ"; mệnh đề đã cho sai, phủ định đúng.
$Q \Rightarrow P$ : "Nếu $x^2=9$ thì $x=3$ ." Mệnh đề sai: $x=-3$ cho $x^2=9$ nhưng $x\ne 3$ .
Mệnh đề đảo: "Nếu một số chia hết cho $5$ thì nó có chữ số tận cùng là $0$ ." Mệnh đề ban đầu đúng ( $10k=5\cdot 2k$ ). Mệnh đề đảo sai: $15$ là phản ví dụ.
(a) "ABCD là hình vuông" $\Rightarrow$ "ABCD là hình chữ nhật" đúng, mệnh đề đảo sai, nên là điều kiện đủ. (b) $a=0 \Rightarrow ab=0$ đúng; $ab=0 \Rightarrow a=0$ sai (lấy $b=0$ , $a=1$ ), nên là điều kiện đủ. (c) $x$ chẵn $\Rightarrow x+1$ lẻ và $x+1$ lẻ $\Rightarrow x$ chẵn, nên là điều kiện cần và đủ.
(a) Đúng. (b) Sai. (c) Đúng: $n=0$ (hoặc $n=1$ ) cho $n^2=n$ . (d) Sai: $n=1$ cho $1>1$ , vô lí.
Phủ định: " $\forall x\in\mathbb{R},\ x^2-4x+4\ge 0$ ". Vì $x^2-4x+4=(x-2)^2\ge 0$ với mọi $x$ nên mệnh đề phủ định đúng, mệnh đề ban đầu sai.
(a) $2$ là số nguyên tố và là số chẵn. (b) $x=-2$ : $x^2=4>1$ nhưng $x=-2$ không lớn hơn $1$ .
Mệnh đề sai: chiều " $\Leftarrow$ " đúng ( $x=2\Rightarrow x^2=4$ ) nhưng chiều " $\Rightarrow$ " sai ( $x=-2$ ). Có thể sửa thành " $x^2=4 \Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=-2$ ", hoặc " $x^2=4$ và $x>0 \Leftrightarrow x=2$ ".
( $\Rightarrow$ ) Nếu $n=2k$ thì $n^2=4k^2=2\cdot 2k^2$ chẵn. ( $\Leftarrow$ ) Giả sử $n$ lẻ, $n=2k+1$ . Khi đó $n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$ lẻ. Vậy nếu $n^2$ chẵn thì $n$ không thể lẻ, tức $n$ chẵn. Cả hai chiều đều đúng nên mệnh đề tương đương đúng.