Các số đặc trưng đo độ phân tán | Lớp 10

Hai cầu thủ bóng rổ đều ghi trung bình $8$ điểm mỗi trận. Một người trận nào cũng ghi $7, 8, 9$ điểm; người kia ghi $0, 8, 16$ điểm. Cùng số trung bình nhưng là hai cầu thủ hoàn toàn khác nhau: một người ổn định, một người may rủi. Chỉ riêng số trung bình đã che giấu điều này. Để mô tả dữ liệu trung thực, ta cần thêm một số đo mức độ phân tán.

Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Khoảng biến thiên dễ tính nhưng chỉ phụ thuộc hai giá trị, nên một giá trị bất thường làm nó sai lệch. Khoảng tứ phân vị bỏ qua các giá trị ở hai đầu.

Phương sai và độ lệch chuẩn

Hai số đo trên bỏ qua phần lớn số liệu. Phương sai dùng mọi giá trị: nó là trung bình cộng của bình phương khoảng cách từ mỗi giá trị đến số trung bình.

Độ lệch chuẩn $s$ có cùng đơn vị với số liệu nên dễ diễn giải hơn. $s$ nhỏ nghĩa là các giá trị tập trung gần số trung bình; $s$ lớn nghĩa là chúng phân tán.

Ví dụ Hai cách tính phương sai

Với $4, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11$ số trung bình cộng là $\bar{x}=\frac{62}{8}=7{,}75$ . Tìm $s^2$ và $s$ .

Lời giải.

Công thức định nghĩa: các bình phương độ lệch là $14{,}0625;\ 3{,}0625;\ 0{,}5625;\ 0{,}5625;\ 0{,}0625;\ 1{,}5625;\ 5{,}0625;\ 10{,}5625$ , tổng bằng $35{,}5$ . Vậy $s^2=\frac{35{,}5}{8}=4{,}4375\approx 4{,}44$ .
Công thức thứ hai: $\frac{16+36+49+49+64+81+100+121}{8}=\frac{516}{8}=64{,}5$ và $64{,}5-7{,}75^2=64{,}5-60{,}0625=4{,}4375$ . ✓
$s=\sqrt{4{,}4375}\approx 2{,}11$ .

Biểu đồ hộp

Biểu đồ hộp vẽ năm số: giá trị nhỏ nhất, $Q_1$ , trung vị, $Q_3$ và giá trị lớn nhất. Hộp chứa nửa số liệu ở giữa, còn các "râu" kéo ra đến hai đầu.

Biểu đồ hộp của

4, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11

Giá trị ngoại lệ

Một giá trị là giá trị ngoại lệ nếu nó nằm xa phần lớn số liệu. Một quy tắc thường dùng: $x$ là giá trị ngoại lệ nếu $x<Q_1-1{,}5\,\Delta_Q\qquad\text{hoặc}\qquad x>Q_3+1{,}5\,\Delta_Q.$

Ví dụ 45 có phải giá trị ngoại lệ không?

Số liệu: $12, 13, 13, 14, 15, 15, 16, 17, 45$ . Kiểm tra giá trị ngoại lệ.

Lời giải. $n=9$ , $M_e=15$ . Nửa dưới $12, 13, 13, 14$ cho $Q_1=13$ ; nửa trên $15, 16, 17, 45$ cho $Q_3=\frac{16+17}{2}=16{,}5$ . Vậy $\Delta_Q=3{,}5$ và $1{,}5\Delta_Q=5{,}25$ .

Ngưỡng dưới: $13-5{,}25=7{,}75$ . Ngưỡng trên: $16{,}5+5{,}25=21{,}75$ .
$45>21{,}75$ nên $45$ là giá trị ngoại lệ. Không giá trị nào khác nằm ngoài $[7{,}75;\ 21{,}75]$ .

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
khoảng biến thiên	range
khoảng tứ phân vị	interquartile range
phương sai	variance
độ lệch chuẩn	standard deviation
độ lệch	deviation
biểu đồ hộp	box plot
giá trị ngoại lệ	outlier
độ phân tán	spread

Tóm tắt

$R=x_{\max}-x_{\min}$ và $\Delta_Q=Q_3-Q_1$ .
$s^2=\frac1n\sum(x_i-\bar{x})^2=\overline{x^2}-\bar{x}^2$ và $s=\sqrt{s^2}$ .
$s$ (hoặc $\Delta_Q$ ) càng nhỏ thì số liệu càng đồng đều.
$x$ là giá trị ngoại lệ nếu $x<Q_1-1{,}5\Delta_Q$ hoặc $x>Q_3+1{,}5\Delta_Q$ .

Luyện tập

Tìm $R$ và $\Delta_Q$ của $3, 5, 7, 9, 11$ .
Tìm $s^2$ và $s$ của $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$ .
Tìm phương sai của $6, 6, 6, 6$ . Kết quả cho bạn biết điều gì?
Với $3, 5, 7, 9, 11$ hãy dùng $s^2=\overline{x^2}-\bar{x}^2$ để tìm $s^2$ và $s$ (làm tròn đến $0{,}01$ ).
Nhóm nào đồng đều hơn: A $=4, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11$ hay B $=7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9$ ? Hãy lập luận bằng $s$ .
$40$ có phải giá trị ngoại lệ của $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 40$ không?
Cộng $5$ vào mọi giá trị của $3, 5, 7, 9, 11$ . Số trung bình cộng và $s$ thay đổi thế nào?
Nhân mọi giá trị của $3, 5, 7, 9, 11$ với $2$ . Tìm phương sai và $s$ mới (làm tròn đến $0{,}01$ ).
Thử thách. Các số $4, 6, 8, 10, x$ có trung bình cộng bằng $8$ . Tìm $x$ và $s^2$ .
Thử thách. Bốn số có $\sum x_i=20$ và $\sum x_i^2=120$ . Tìm $s^2$ .

Xem lời giải

$R=11-3=8$ . $Q_1=\frac{3+5}{2}=4$ , $Q_3=\frac{9+11}{2}=10$ , nên $\Delta_Q=6$ .
$\bar{x}=5$ . Bình phương độ lệch: $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$ , tổng $32$ . $s^2=\frac{32}{8}=4$ và $s=2$ .
$\bar{x}=6$ và mọi độ lệch đều bằng $0$ , nên $s^2=0$ . Mọi giá trị bằng nhau: không có sự phân tán.
$\bar{x}=7$ và $\overline{x^2}=\frac{9+25+49+81+121}{5}=\frac{285}{5}=57$ . $s^2=57-49=8$ và $s=\sqrt8\approx 2{,}83$ .
Với A, $s\approx 2{,}11$ ; với B, $s\approx 0{,}78$ . B có độ lệch chuẩn nhỏ hơn nên B đồng đều hơn.
$Q_1=3$ , $Q_3=9$ (loại trung vị $6$ ), $\Delta_Q=6$ , $1{,}5\Delta_Q=9$ . Ngưỡng trên $=9+9=18$ . Vì $40>18$ nên đó là giá trị ngoại lệ.
Số liệu mới là $8, 10, 12, 14, 16$ : số trung bình cộng thành $12$ (tăng $5$ ), còn $s=\sqrt8\approx 2{,}83$ không đổi. Dịch chuyển mọi giá trị không làm thay đổi độ phân tán.
Số liệu mới là $6, 10, 14, 18, 22$ với trung bình cộng $14$ . $s^2=\frac{64+16+0+16+64}{5}=32$ và $s=\sqrt{32}\approx 5{,}66$ . Phương sai nhân với $4$ và $s$ nhân với $2$ .
Trung bình cộng bằng $8$ nên $4+6+8+10+x=40$ , suy ra $x=12$ . Các độ lệch là $-4, -2, 0, 2, 4$ , tổng bình phương bằng $40$ . $s^2=\frac{40}{5}=8$ .
$\bar{x}=\frac{20}{4}=5$ . $s^2=\frac{120}{4}-5^2=30-25=5$ .