Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° | Lớp 10

Trong tam giác vuông, sin và côsin chỉ có nghĩa với góc nhọn. Nhưng mái nhà có thể dốc $120^\circ$ , cánh cửa có thể mở rộng $150^\circ$ , và chiếc thước có thể xoay một góc bất kì cho đến khi thẳng hàng. Muốn đo những thứ đó, ta cần $\sin$ , $\cos$ , $\tan$ , $\cot$ của cả góc tù. Mẹo là đưa góc vào mặt phẳng toạ độ.

Nửa đường tròn đơn vị

Vẽ nửa đường tròn nằm phía trên trục hoành, tâm $O(0; 0)$ , bán kính $1$ . Đó là nửa đường tròn đơn vị: các điểm $(x; y)$ của nó thoả mãn $x^2+y^2=1$ và $y\geq0$ .

Lấy một góc $\alpha$ từ $0^\circ$ đến $180^\circ$ . Xuất phát từ tia $Ox$ rồi quay ngược chiều kim đồng hồ một góc $\alpha$ . Tia này cắt nửa đường tròn tại đúng một điểm $M(x_0; y_0)$ .

Điểm

M

ứng với góc

\alpha

Khi $\alpha$ nhọn, tam giác $OHM$ vuông tại $H$ với cạnh huyền $OM=1$ . Khi đó $\cos\alpha=\dfrac{OH}{OM}=x_0$ và $\sin\alpha=\dfrac{HM}{OM}=y_0$ . Vậy toạ độ của $M$ chính là côsin và sin. Ta lấy điều này làm định nghĩa cho mọi góc $\alpha$ thuộc $[0^\circ; 180^\circ]$ .

Khi nào tan và cot không xác định?

$x_0=0$ đúng khi $M=(0; 1)$ , tức là $\alpha=90^\circ$ . Vậy $\tan90^\circ$ không xác định.
$y_0=0$ đúng khi $M=(\pm1; 0)$ , tức là $\alpha=0^\circ$ hoặc $\alpha=180^\circ$ . Vậy $\cot0^\circ$ và $\cot180^\circ$ không xác định.

Dấu của các giá trị lượng giác

Vì $M$ nằm trên nửa đường tròn phía trên nên $\sin\alpha\geq0$ với mọi $\alpha$ . Dấu của $\cos\alpha=x_0$ phụ thuộc $M$ nằm bên nào của trục tung:

góc	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\tan\alpha$	$\cot\alpha$
nhọn ( $0^\circ<\alpha<90^\circ$ )	$+$	$+$	$+$	$+$
tù ( $90^\circ<\alpha<180^\circ$ )	$+$	$-$	$-$	$-$

Hai góc bù nhau

Lấy $\alpha=60^\circ$ và $180^\circ-\alpha=120^\circ$ . Hai điểm $M$ và $M'$ tương ứng đối xứng với nhau qua trục tung.

Hai góc bù nhau cho hai điểm đối xứng qua trục tung

Hai điểm đối xứng có cùng tung độ và hoành độ đối nhau. Từ đó có quy tắc cho mọi $\alpha$ .

Với góc nhọn, em còn biết quy tắc hai góc phụ nhau từ tam giác vuông: $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$ và $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$ .

Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Đặt $M$ ở các góc $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ (và các điểm đối xứng $150^\circ$ , $135^\circ$ , $120^\circ$ ) ta được bảng dưới đây. Em chỉ cần nhớ nửa đầu; nửa sau suy ra từ quy tắc góc bù nhau.

Các điểm của nửa đường tròn ở những góc đặc biệt

$\alpha$	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$120^\circ$	$135^\circ$	$150^\circ$	$180^\circ$
$\sin\alpha$	$0$	$\frac12$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac12$	$0$
$\cos\alpha$	$1$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac12$	$0$	$-\frac12$	$-\frac{\sqrt2}{2}$	$-\frac{\sqrt3}{2}$	$-1$
$\tan\alpha$	$0$	$\frac{\sqrt3}{3}$	$1$	$\sqrt3$	không xác định	$-\sqrt3$	$-1$	$-\frac{\sqrt3}{3}$	$0$
$\cot\alpha$	không xác định	$\sqrt3$	$1$	$\frac{\sqrt3}{3}$	$0$	$-\frac{\sqrt3}{3}$	$-1$	$-\sqrt3$	không xác định

("không xác định" nghĩa là giá trị đó không tồn tại.)

Các hệ thức cơ bản

Điểm $M(x_0; y_0)$ nằm trên đường tròn $x^2+y^2=1$ nên $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$ . Chia hai vế cho $\cos^2\alpha$ hoặc $\sin^2\alpha$ ta được thêm hai hệ thức nữa.

Định lí Các hệ thức cơ bản

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$

$1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}\quad(\alpha\neq90^\circ),\qquad 1+\cot^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}\quad(\alpha\neq0^\circ,180^\circ)$

$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad \cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha},\qquad \tan\alpha\cdot\cot\alpha=1$

(hệ thức cuối khi cả $\tan\alpha$ và $\cot\alpha$ đều xác định, tức là $\alpha\neq0^\circ,90^\circ,180^\circ$ ).

Tính các giá trị còn lại khi biết một giá trị

Dùng một hệ thức để tìm bình phương của giá trị cần tính.
Khai căn và chọn dấu theo bảng dấu (đây là chỗ góc nhọn hay góc tù có vai trò quyết định).
Dùng $\tan=\sin/\cos$ và $\cot=\cos/\sin$ .

Ví dụ Biết tang

Cho $\tan\alpha=-2$ . Tính $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ , $\cot\alpha$ .

Lời giải. Bước 1. $\tan\alpha<0$ nên $\alpha$ là góc tù: $\cos\alpha<0$ và $\sin\alpha>0$ . Bước 2. $\dfrac{1}{\cos^2\alpha}=1+\tan^2\alpha=1+4=5$ , nên $\cos^2\alpha=\dfrac15$ . Bước 3. $\cos\alpha<0$ nên $\cos\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt5}=-\dfrac{\sqrt5}{5}$ . Bước 4. $\sin\alpha=\tan\alpha\cdot\cos\alpha=(-2)\left(-\dfrac{\sqrt5}{5}\right)=\dfrac{2\sqrt5}{5}$ . Bước 5. $\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}=-\dfrac12$ .

Kiểm tra: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\dfrac{4}{5}+\dfrac15=1$ .

Dùng máy tính cầm tay

Phím bấm khác nhau đôi chút giữa các loại máy, nhưng ý tưởng thì giống nhau.

Trước hết đặt máy ở chế độ độ (màn hình hiện D hoặc DEG). Ở chế độ radian, kết quả sẽ sai.
Với $\sin$ , $\cos$ , $\tan$ : bấm phím hàm, nhập góc, đóng ngoặc nếu cần rồi bấm dấu bằng.
Máy không có phím $\cot$ : dùng $\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}$ .
Để tìm góc khi biết giá trị, bấm SHIFT (hoặc 2nd) rồi phím hàm (hiện là $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ , $\tan^{-1}$ ).

Ví dụ Làm việc với máy tính

(a) Tìm $\sin37^\circ$ với 4 chữ số thập phân. (b) Tìm $\alpha\in[0^\circ; 180^\circ]$ sao cho $\cos\alpha=-0{,}3$ . (c) Tìm mọi $\alpha\in[0^\circ; 180^\circ]$ sao cho $\sin\alpha=0{,}8$ .

Lời giải. (a) Bấm $\sin 37$ được $\sin37^\circ\approx0{,}6018$ .

(b) Bấm $\cos^{-1}(-0{,}3)$ được $\alpha\approx107{,}46^\circ$ . Hàm côsin ngược luôn cho góc trong $[0^\circ; 180^\circ]$ nên đây là đáp án duy nhất.

(c) $\sin^{-1}(0{,}8)\approx53{,}13^\circ$ . Nhưng hàm sin ngược chỉ cho góc nhọn. Góc bù có cùng sin nên còn một đáp án nữa là $180^\circ-53{,}13^\circ=126{,}87^\circ$ . Vậy $\alpha\approx53{,}13^\circ$ hoặc $\alpha\approx126{,}87^\circ$ .

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
nửa đường tròn đơn vị	unit semicircle
sin (sin của một góc)	sine
côsin	cosine
tang	tangent
côtang	cotangent
hai góc bù nhau	supplementary angles
góc tù	obtuse angle
góc nhọn	acute angle
đẳng thức (hằng đẳng thức)	identity
không xác định	undefined

Tóm tắt

Với $\alpha\in[0^\circ; 180^\circ]$ và $M(x_0; y_0)$ trên nửa đường tròn đơn vị: $\sin\alpha=y_0$ , $\cos\alpha=x_0$ , $\tan\alpha=\dfrac{y_0}{x_0}$ , $\cot\alpha=\dfrac{x_0}{y_0}$ .
$\tan90^\circ$ , $\cot0^\circ$ , $\cot180^\circ$ không xác định. $\sin\alpha\geq0$ luôn đúng; với góc tù thì $\cos$ , $\tan$ , $\cot$ đều âm.
Hai góc bù nhau: cùng $\sin$ , còn $\cos$ , $\tan$ , $\cot$ đối nhau.
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ , $1+\tan^2\alpha=\dfrac1{\cos^2\alpha}$ , $1+\cot^2\alpha=\dfrac1{\sin^2\alpha}$ .
Trên máy tính phải đặt chế độ độ; $\sin^{-1}$ chỉ cho góc nhọn nên nhớ kiểm tra thêm góc bù.

Luyện tập

Dùng quy tắc góc bù nhau để tìm $\sin150^\circ$ , $\cos150^\circ$ , $\tan150^\circ$ , $\cot150^\circ$ .
Viết toạ độ điểm $M$ của nửa đường tròn đơn vị ứng với $\alpha=135^\circ$ và với $\alpha=90^\circ$ .
Giá trị nào trong các giá trị sau không tồn tại: $\tan90^\circ$ , $\cot0^\circ$ , $\tan180^\circ$ , $\cot180^\circ$ , $\cot90^\circ$ ? Hãy cho giá trị của những giá trị tồn tại.
Cho $\sin\alpha=\dfrac{5}{13}$ và $\alpha$ là góc nhọn. Tính $\cos\alpha$ , $\tan\alpha$ , $\cot\alpha$ .
Cho $\cos\alpha=-\dfrac35$ với $0^\circ\leq\alpha\leq180^\circ$ . Tính $\sin\alpha$ , $\tan\alpha$ , $\cot\alpha$ .
Tính $\cos20^\circ+\cos160^\circ+\sin35^\circ-\sin145^\circ$ .
Cho $\tan\alpha=\dfrac12$ . Tính $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$ .
Dùng máy tính (chế độ độ), tìm với 4 chữ số thập phân: $\sin72^\circ$ , $\cos123^\circ$ , $\tan148^\circ$ .
Trong tam giác $ABC$ , chứng minh $\sin(B+C)=\sin A$ và $\cos(B+C)=-\cos A$ . Từ đó tìm $\sin(B+C)$ và $\cos(B+C)$ theo $\sin 50^\circ$ và $\cos 50^\circ$ khi $A=50^\circ$ .
(Thử thách) Cho góc $\alpha\in[0^\circ; 180^\circ]$ thoả mãn $\sin\alpha+\cos\alpha=\dfrac12$ . Tìm $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$ .

Xem lời giải

$150^\circ=180^\circ-30^\circ$ . Vậy $\sin150^\circ=\sin30^\circ=\dfrac12$ , $\cos150^\circ=-\cos30^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ , $\tan150^\circ=-\tan30^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{3}$ , $\cot150^\circ=-\cot30^\circ=-\sqrt3$ .
Với $\alpha=135^\circ$ : $M=(\cos135^\circ; \sin135^\circ)=\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}; \dfrac{\sqrt2}{2}\right)$ . Với $\alpha=90^\circ$ : $M=(0; 1)$ .
$\tan90^\circ$ , $\cot0^\circ$ và $\cot180^\circ$ không tồn tại (mẫu số $x_0$ hoặc $y_0$ bằng $0$ ). $\tan180^\circ=\dfrac{0}{-1}=0$ và $\cot90^\circ=\dfrac{0}{1}=0$ tồn tại.
$\cos^2\alpha=1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}$ và $\alpha$ nhọn nên $\cos\alpha=\dfrac{12}{13}$ . Khi đó $\tan\alpha=\dfrac{5/13}{12/13}=\dfrac{5}{12}$ và $\cot\alpha=\dfrac{12}{5}$ .
$\sin^2\alpha=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$ và $\sin\alpha\geq0$ nên $\sin\alpha=\dfrac45$ . Khi đó $\tan\alpha=\dfrac{4/5}{-3/5}=-\dfrac43$ và $\cot\alpha=-\dfrac34$ .
$\cos160^\circ=-\cos20^\circ$ và $\sin145^\circ=\sin35^\circ$ . Vậy tổng bằng $\cos20^\circ-\cos20^\circ+\sin35^\circ-\sin35^\circ=0$ .
$\tan\alpha>0$ nên $\alpha$ nhọn và cả hai giá trị đều dương. $\dfrac{1}{\cos^2\alpha}=1+\dfrac14=\dfrac54$ , nên $\cos^2\alpha=\dfrac45$ và $\cos\alpha=\dfrac{2}{\sqrt5}=\dfrac{2\sqrt5}{5}$ . Khi đó $\sin\alpha=\tan\alpha\cos\alpha=\dfrac12\cdot\dfrac{2\sqrt5}{5}=\dfrac{\sqrt5}{5}$ . Kiểm tra: $\dfrac15+\dfrac45=1$ .
$\sin72^\circ\approx0{,}9511$ , $\cos123^\circ\approx-0{,}5446$ , $\tan148^\circ\approx-0{,}6249$ . (Hai giá trị sau âm vì các góc là góc tù; đó là cách kiểm tra tốt xem máy có đang ở chế độ độ không.)
Trong tam giác, $A+B+C=180^\circ$ nên $B+C=180^\circ-A$ . Theo quy tắc góc bù nhau, $\sin(B+C)=\sin(180^\circ-A)=\sin A$ và $\cos(B+C)=\cos(180^\circ-A)=-\cos A$ . Với $A=50^\circ$ : $\sin(B+C)=\sin50^\circ$ và $\cos(B+C)=-\cos50^\circ$ (lúc này $B+C=130^\circ$ ).
Bình phương: $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\dfrac14$ , nên $1+2\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac14$ và $\sin\alpha\cos\alpha=-\dfrac38$ . Tích âm và $\sin\alpha\geq0$ nên $\sin\alpha>0$ và $\cos\alpha<0$ . Khi đó $(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1-2\sin\alpha\cos\alpha=1+\dfrac34=\dfrac74$ và $\sin\alpha-\cos\alpha>0$ , nên $\sin\alpha-\cos\alpha=\dfrac{\sqrt7}{2}$ . Cộng và trừ với $\sin\alpha+\cos\alpha=\dfrac12$ : $\sin\alpha=\dfrac{1+\sqrt7}{4}\approx0{,}911$ và $\cos\alpha=\dfrac{1-\sqrt7}{4}\approx-0{,}411$ . Kiểm tra: $\dfrac{(1+\sqrt7)^2+(1-\sqrt7)^2}{16}=\dfrac{16}{16}=1$ .