Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm | Lớp 10

Lớp bạn vừa có bài kiểm tra. Thầy cô nói: "Điểm trung bình là 7." Một bạn nói: "Một nửa lớp được từ 7,5 trở lên." Bạn thứ ba nói: "Đa số các bạn được 8." Họ có mâu thuẫn nhau không? Không: mỗi người đang mô tả "trung tâm" của cùng một dữ liệu theo một cách khác nhau. Bài này giới thiệu bốn cách chuẩn và khi nào mỗi cách là lựa chọn trung thực.

Số trung bình cộng

Số trung bình cộng dùng mọi giá trị nên nhạy với các giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ.

Trung vị và tứ phân vị

Sắp xếp mẫu số liệu từ bé đến lớn.

Trung vị chia mẫu số liệu thành hai nửa; các tứ phân vị chia nó thành bốn phần.

Mốt

Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất. Một mẫu số liệu có thể không có mốt rõ ràng, hoặc có hai mốt. Mốt là số đặc trưng duy nhất dùng được cả cho dữ liệu phân loại (màu được ưa chuộng nhất, cỡ giày phổ biến nhất).

Số liệu trong bảng tần số

Ví dụ Bảng tần số

Điểm của 20 học sinh được tóm tắt dưới đây. Tìm $\bar{x}$ , $M_e$ , $Q_1$ , $Q_3$ và mốt.

Điểm	5	6	7	8	9	10
Tần số	2	3	5	6	3	1

Lời giải.

$n=2+3+5+6+3+1=20$ . Tổng bằng $10+18+35+48+27+10=148$ , nên $\bar{x}=\frac{148}{20}=7{,}4$ .
Tần số tích luỹ: $2, 5, 10, 16, 19, 20$ . Giá trị thứ 10 là $7$ và thứ 11 là $8$ , nên $M_e=7{,}5$ .
Nửa dưới là 10 giá trị đầu: giá trị thứ 5 là $6$ và thứ 6 là $7$ , nên $Q_1=6{,}5$ .
Nửa trên là 10 giá trị cuối: giá trị thứ 15 và thứ 16 đều bằng $8$ , nên $Q_3=8$ .
Tần số lớn nhất là $6$ , nên mốt bằng $8$ .

Ảnh hưởng của giá trị bất thường

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
số trung bình cộng	mean
trung vị	median
tứ phân vị	quartile
mốt	mode
tần số	frequency
bảng tần số	frequency table
giá trị ngoại lệ	outlier
mẫu số liệu	data set

Tóm tắt

Số trung bình cộng là tổng chia cho số giá trị; với bảng tần số dùng $\bar{x}=\frac{\sum f_ix_i}{n}$ .
Trung vị là giá trị ở giữa của mẫu đã sắp xếp; $Q_1$ và $Q_3$ là trung vị của nửa dưới và nửa trên.
Mốt là giá trị có tần số lớn nhất.
Giá trị bất thường kéo số trung bình cộng nhiều hơn nhiều so với trung vị.

Luyện tập

Tìm số trung bình cộng của $6, 8, 9, 10, 12$ .
Tìm trung vị của $3, 9, 4, 7, 1, 6$ .
Tìm mốt của $2, 3, 3, 5, 5, 5, 7$ .
Với $2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 15$ hãy tìm $M_e$ , $Q_1$ và $Q_3$ .
Bảng cho số quyển sách đã đọc của 22 học sinh. Tìm $\bar{x}$ (làm tròn đến $0{,}01$ ), $M_e$ và mốt.

Số sách 1 2 3 4 5

Số học sinh 3 5 8 4 2
Năm số có trung bình cộng bằng $8$ . Bốn trong năm số là $6, 7, 9, 10$ . Tìm số còn lại.
Một lớp có 20 nữ với điểm trung bình $7{,}0$ và 10 nam với điểm trung bình $8{,}5$ . Tìm điểm trung bình của cả lớp.
Với $12, 13, 14, 15, 16, 17, 90$ hãy tìm số trung bình cộng và trung vị. Số nào mô tả dữ liệu tốt hơn?
Thử thách. Bảy số có trung bình cộng bằng $10$ . Bỏ đi một số thì trung bình cộng của sáu số còn lại bằng $9$ . Số bị bỏ là số nào?
Thử thách. Với $3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 20$ hãy tìm $M_e$ , $Q_1$ và $Q_3$ .

Xem lời giải

$\frac{6+8+9+10+12}{5}=\frac{45}{5}=9$ .
Sắp xếp: $1, 3, 4, 6, 7, 9$ . Hai giá trị giữa là $4$ và $6$ , nên $M_e=5$ .
Giá trị $5$ xuất hiện ba lần: mốt bằng $5$ .
$n=9$ : $M_e=8$ (giá trị thứ 5). Nửa dưới $2, 4, 5, 7$ cho $Q_1=\frac{4+5}{2}=4{,}5$ . Nửa trên $10, 11, 13, 15$ cho $Q_3=\frac{11+13}{2}=12$ .
$n=22$ ; tổng bằng $3+10+24+16+10=63$ , nên $\bar{x}=\frac{63}{22}\approx 2{,}86$ . Tần số tích luỹ $3, 8, 16, 20, 22$ : giá trị thứ 11 và thứ 12 đều là $3$ , nên $M_e=3$ . Tần số lớn nhất là $8$ , nên mốt bằng $3$ .
Tổng cả năm số $=5\cdot 8=40$ . Tổng bốn số đã biết $=32$ . Số còn lại là $8$ .
Tổng điểm $=20\cdot 7+10\cdot 8{,}5=140+85=225$ ; điểm trung bình $=\frac{225}{30}=7{,}5$ .
Số trung bình cộng $=\frac{177}{7}\approx 25{,}29$ ; trung vị $=15$ . Giá trị bất thường $90$ kéo số trung bình cộng lớn hơn tất cả các giá trị trừ một, nên trung vị mô tả dữ liệu tốt hơn.
Tổng bảy số $=70$ ; tổng sáu số $=54$ . Số bị bỏ là $70-54=16$ .
$n=12$ : giá trị thứ 6 và thứ 7 là $10$ và $12$ , nên $M_e=11$ . Nửa dưới $3, 4, 6, 7, 9, 10$ cho $Q_1=\frac{6+7}{2}=6{,}5$ . Nửa trên $12, 13, 15, 16, 18, 20$ cho $Q_3=\frac{15+16}{2}=15{,}5$ .