Phương trình quy về phương trình bậc hai

Một chiếc thang dựa vào tường. Chân thang phải cách tường bao xa để đầu thang chạm tới một độ cao cho trước? Định lí Pythagore đưa một căn bậc hai vào phương trình. Để bỏ căn ta bình phương hai vế, nhưng bình phương có thể tạo ra nghiệm giả. Bài này chỉ cách bình phương một cách an toàn.

Vì sao bình phương cần thử lại

Nếu $A=B$ thì $A^2=B^2$. Chiều ngược lại sai: $A^2=B^2$ chỉ cho biết $A=B$ hoặc $A=-B$. Chẳng hạn $x=-3$ không là nghiệm của $x=3$, nhưng bình phương cho $x^2=9$ lại nhận nó. Vì vậy sau khi bình phương ta phải giữ đúng điều kiện hoặc thử lại mọi giá trị tìm được vào phương trình ban đầu.

Phương trình $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$

Bình phương hai vế được $f(x)=g(x)$. Sau đó chỉ giữ các nghiệm thoả mãn $f(x)\ge 0$ (khi đó $g(x)=f(x)\ge 0$ cũng đúng).

Phương trình $\sqrt{f(x)}=g(x)$

Căn bậc hai không bao giờ âm, nên nghiệm cần có $g(x)\ge 0$. Khi đó bình phương là an toàn: $$\sqrt{f(x)}=g(x)\iff\begin{cases}g(x)\ge 0\\ f(x)=g(x)^2.\end{cases}$$

Bài toán chiếc thang

Thuật ngữ

Tóm tắt

• $\sqrt{f}=\sqrt{g}\iff f=g$ và $f\ge 0$.
• $\sqrt{f}=g\iff g\ge 0$ và $f=g^2$.
• Luôn thử lại các giá trị tìm được; bình phương có thể thêm nghiệm giả.
• Bài toán thực tế: lập phương trình, giải, rồi chỉ giữ đáp số có ý nghĩa.

Luyện tập

Xem lời giải

1. $x+5=3x-1$ cho $x=3$. Thử lại: $\sqrt8=\sqrt8$ ✓. $S=\{3\}$.
2. $x^2-4=3x$, suy ra $x^2-3x-4=0$ và $x=4$ hoặc $x=-1$. Cần $3x\ge 0$: chỉ $x=4$. Thử lại: $\sqrt{12}=\sqrt{12}$ ✓. $S=\{4\}$.
3. $x-2=9$, suy ra $x=11$. Thử lại: $\sqrt9=3$ ✓.
4. Cần $x\ge 0$. $x+2=x^2$, suy ra $x^2-x-2=0$, $x=2$ hoặc $x=-1$. Chỉ $x=2$. Thử lại: $\sqrt4=2$ ✓.
5. Cần $x\ge 0$. $2x+3=x^2$, suy ra $x^2-2x-3=0$, $x=3$ hoặc $x=-1$. Chỉ $x=3$. Thử lại: $\sqrt9=3$ ✓.
6. Cần $x\ge 3$. $x+3=x^2-6x+9$, suy ra $x^2-7x+6=0$, $x=1$ hoặc $x=6$. Chỉ $x=6$. Thử lại: $\sqrt9=3=6-3$ ✓.
7. Cần $x\ge -4$. $2-x=x^2+8x+16$, suy ra $x^2+9x+14=0$, $x=-2$ hoặc $x=-7$. Chỉ $x=-2$. Thử lại: $\sqrt4=2=-2+4$ ✓.
8. $x^2-2x=x+4$, suy ra $x^2-3x-4=0$ và $x=4$ hoặc $x=-1$. Thử lại: với $x=4$ hai vế đều bằng $\sqrt8$ ✓; với $x=-1$ hai vế đều bằng $\sqrt3$ ✓. $S=\{-1; 4\}$.
9. Cần $x\ge 1$. $2x^2-3x-5=x^2-2x+1$, suy ra $x^2-x-6=0$, $x=3$ hoặc $x=-2$. Chỉ $x=3$. Thử lại: $\sqrt{18-9-5}=\sqrt4=2=3-1$ ✓.
10. $\sqrt{169-d^2}=d+7$. Bình phương: $169-d^2=d^2+14d+49$, suy ra $d^2+7d-60=0$ và $d=5$ hoặc $d=-12$. Vậy $d=5$ m và độ cao là $12$ m. Thử lại: $\sqrt{169-25}=12=5+7$ ✓.