Vectơ trong mặt phẳng toạ độ | Lớp 10

Ứng dụng bản đồ bảo bạn "đi 3 dãy nhà về phía đông và 2 dãy nhà về phía bắc". Hai con số đó là mọi thứ bạn cần biết về chuyến đi: đi bao xa theo đường ngang và bao xa theo đường dọc. Đặt vectơ lên lưới toạ độ biến ý tưởng này thành một công cụ. Thay vì vẽ mũi tên, ta có thể tính toán với các cặp số, nhanh hơn và dùng được cả cho những bài quá phức tạp để vẽ.

Toạ độ của vectơ

Trong mặt phẳng có hệ trục $Ox$ , $Oy$ , gọi $\vec{i}$ là vectơ có độ dài $1$ trên trục $Ox$ và $\vec{j}$ là vectơ có độ dài $1$ trên trục $Oy$ . Đây là các vectơ đơn vị.

Vectơ

\vec{a}=3\vec{i}+2\vec{j}

Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi toạ độ của chúng bằng nhau: $(x; y)=(x'; y')$ nghĩa là $x=x'$ và $y=y'$ . Vectơ không là $(0; 0)$ .

Từ hai điểm đến một vectơ

Nếu $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$ thì để đi từ $A$ đến $B$ bạn dịch $x_B-x_A$ theo chiều ngang và $y_B-y_A$ theo chiều dọc: $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A).$

Các phép toán theo toạ độ

Như vậy bạn cộng, trừ và nhân vectơ với một số từng toạ độ một.

Độ dài vectơ và khoảng cách

Theo định lí Pythagore, vectơ $\vec{a}=(x; y)$ có độ dài $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}.$ Vì $AB$ là độ dài của $\overrightarrow{AB}$ , nên khoảng cách giữa hai điểm là $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.$

Trung điểm và trọng tâm

Dùng $\overrightarrow{OM}=\frac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ và $\overrightarrow{OG}=\frac13(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ với $O$ là gốc toạ độ, ta được toạ độ bằng cách lấy trung bình.

Vectơ cùng phương và ba điểm thẳng hàng

Hai vectơ $\vec{a}=(x_1; y_1)$ và $\vec{b}=(x_2; y_2)$ cùng phương khi vectơ này là bội của vectơ kia. Theo toạ độ, điều đó có nghĩa là $x_1y_2-x_2y_1=0.$ (Hãy dùng phép thử bằng tích này thay cho tỉ số $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$ , vì tỉ số không dùng được khi có một toạ độ bằng $0$ .) Ba điểm $A$ , $B$ , $C$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.

Đỉnh còn thiếu của hình bình hành

$ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ , suy ra $D=A+C-B$ theo toạ độ.

Hình bình hành

ABCD

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
các vectơ đơn vị	unit vectors
toạ độ của vectơ	coordinates of a vector
hai vectơ bằng nhau	equal vectors
độ dài vectơ	length of a vector
khoảng cách giữa hai điểm	distance between two points
trung điểm	midpoint
trọng tâm	centroid
cùng phương	collinear
hình bình hành	parallelogram

Tóm tắt

$\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}$ được viết là $\vec{a}=(x; y)$ ; $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A)$ .
Cộng, trừ và nhân với một số từng toạ độ một.
$|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$ và $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ .
Trung điểm: trung bình cộng các toạ độ; trọng tâm: trung bình cộng của ba toạ độ.
$\vec{a}$ , $\vec{b}$ cùng phương $\iff x_1y_2-x_2y_1=0$ ; hình bình hành $ABCD$ : $D=A+C-B$ .

Luyện tập

Cho $\vec{a}=(3; -2)$ và $\vec{b}=(-1; 5)$ . Tìm $2\vec{a}+\vec{b}$ và $\vec{a}-3\vec{b}$ .
Tìm $\overrightarrow{AB}$ và khoảng cách $AB$ với $A(-2; 3)$ và $B(4; -1)$ .
Tìm trung điểm của $A(-3; 5)$ và $B(7; 1)$ .
Tìm trọng tâm của tam giác có các đỉnh $A(1; 2)$ , $B(4; -1)$ , $C(-2; 8)$ .
Chứng minh $A(1; 1)$ , $B(2; 3)$ , $C(4; 7)$ thẳng hàng.
Tìm $m$ để $\vec{a}=(m; 3)$ và $\vec{b}=(4; 6)$ cùng phương.
$ABCD$ là hình bình hành với $A(-1; 0)$ , $B(2; 1)$ , $C(3; 4)$ . Tìm $D$ .
Viết $\vec{c}=(5; 1)$ dưới dạng $x\vec{a}+y\vec{b}$ với $\vec{a}=(1; 1)$ và $\vec{b}=(1; -1)$ .
Thử thách. Tìm điểm $M$ trên trục hoành thẳng hàng với $A(1; 2)$ và $B(3; -2)$ .
Thử thách. Chứng minh tam giác có $A(1; 1)$ , $B(4; 5)$ , $C(7; 1)$ là tam giác cân và tìm chu vi của nó.

Xem lời giải

$2\vec{a}+\vec{b}=(6-1;\ -4+5)=(5; 1)$ . $\vec{a}-3\vec{b}=(3+3;\ -2-15)=(6; -17)$ .
$\overrightarrow{AB}=(4+2;\ -1-3)=(6; -4)$ và $AB=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ .
$\left(\dfrac{-3+7}{2};\ \dfrac{5+1}{2}\right)=(2; 3)$ .
$G\left(\dfrac{1+4-2}{3};\ \dfrac{2-1+8}{3}\right)=(1; 3)$ .
$\overrightarrow{AB}=(1; 2)$ và $\overrightarrow{AC}=(3; 6)$ . $1\cdot 6-3\cdot 2=0$ , nên hai vectơ cùng phương (và $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}$ ).
$m\cdot 6-4\cdot 3=0$ , nên $6m=12$ và $m=2$ .
$D=A+C-B=(-1+3-2;\ 0+4-1)=(0; 3)$ .
$x+y=5$ và $x-y=1$ . Cộng hai phương trình được $2x=6$ , $x=3$ , rồi $y=2$ . Vậy $\vec{c}=3\vec{a}+2\vec{b}$ .
$M(t; 0)$ . $\overrightarrow{AM}=(t-1; -2)$ và $\overrightarrow{AB}=(2; -4)$ . Cùng phương: $(t-1)(-4)-2\cdot(-2)=0$ , nên $-4t+4+4=0$ và $t=2$ . $M(2; 0)$ .
$AB=\sqrt{9+16}=5$ , $BC=\sqrt{9+16}=5$ , $AC=6$ . Có hai cạnh bằng nhau nên tam giác cân. Chu vi $5+5+6=16$ .