Dấu của tam thức bậc hai

Một quả bóng được ném lên cao. Trong những giây nào bóng cao hơn $15$ m so với mặt đất? "Cao hơn" là một bất phương trình, còn độ cao là một hàm bậc hai theo thời gian. Để trả lời, ta cần biết khi nào tam thức bậc hai dương và khi nào âm. Parabol kể cho ta toàn bộ câu chuyện.

Định lí về dấu

Hãy hình dung: với $a>0$ parabol quay bề lõm lên trên, nên nó nằm phía trên trục hoành ở nơi nó không chui xuống dưới. Dấu chỉ đổi tại các nghiệm.

Giải bất phương trình bậc hai

Phương pháp: (1) chuyển tất cả về một vế; (2) tìm $\Delta$ và các nghiệm; (3) dùng định lí; (4) đọc đáp số.

Bất phương trình dạng thương

Bất phương trình có tham số

Bài toán thực tế

Thuật ngữ

Tóm tắt

• Dấu của $f(x)=ax^2+bx+c$: $\Delta<0$ thì cùng dấu $a$ với mọi $x$; $\Delta=0$ thì cùng dấu $a$ trừ tại nghiệm; $\Delta>0$ thì cùng dấu $a$ ngoài hai nghiệm và trái dấu $a$ giữa hai nghiệm.
• Giải bất phương trình: một vế bằng $0$, tìm $\Delta$ và nghiệm, rồi áp dụng định lí.
• Với $a>0$: $f\ge 0$ với mọi $x$ $\iff\Delta\le 0$. Với $a<0$: $f\le 0$ với mọi $x$ $\iff\Delta\le 0$.

Luyện tập

Xem lời giải

1. Các nghiệm $1$ và $3$, $a>0$: dương khi nằm ngoài. $S=(-\infty; 1)\cup(3; +\infty)$.
2. $x^2-9=(x-3)(x+3)$, các nghiệm $\pm3$, $a>0$: $\le 0$ khi nằm giữa (kể cả hai nghiệm). $S=[-3; 3]$.
3. $-x^2+2x+8=-(x-4)(x+2)$, các nghiệm $-2$ và $4$, $a<0$: dương khi nằm giữa. $S=(-2; 4)$.
4. $2x^2-x-3=(2x-3)(x+1)$, các nghiệm $-1$ và $\frac32$, $a>0$: $\ge 0$ khi nằm ngoài, kể cả nghiệm. $S=(-\infty; -1]\cup\left[\frac32; +\infty\right)$.
5. $\Delta=16-20=-4<0$, $a>0$: luôn dương. $S=\mathbb{R}$.
6. $(x-2)^2\le 0$ chỉ tại $x=2$. $S=\{2\}$.
7. $a=1>0$, cần $\Delta=m^2-16<0$, suy ra $-4<m<4$.
8. Các giá trị tới hạn $-1$ (tử) và $3$ (bị loại). Xét dấu: $x<-1$: $(-)/(-)>0$; $-1<x<3$: $(+)/(-)<0$ ✓; $x>3$: $(+)/(+)>0$. $S=(-1; 3)$.
9. Cần $a=m<0$ và $\Delta'=4-m(m-3)<0$, tức $m^2-3m-4>0$, tức $(m-4)(m+1)>0$, suy ra $m<-1$ hoặc $m>4$. Kết hợp với $m<0$: $m<-1$. $m\in(-\infty; -1)$.
10. Cần $x^2-3x-4\ge 0$: $(x-4)(x+1)\ge 0$, suy ra $x\le -1$ hoặc $x\ge 4$. Tập xác định $(-\infty; -1]\cup[4; +\infty)$.