Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp | Lớp 10

Năm người bạn xếp hàng chụp ảnh. Có thể có bao nhiêu bức ảnh khác nhau? Bây giờ chọn hai trong năm người để cầm biểu ngữ: có bao nhiêu cách chọn? Câu hỏi đầu quan tâm đến thứ tự, câu hỏi sau thì không. Bài này cho bạn công thức cho cả hai, cùng một phép thử đơn giản để biết dùng công thức nào.

Hoán vị và giai thừa

Có $n$ cách chọn cho vị trí thứ nhất, $n-1$ cách cho vị trí thứ hai, và cứ thế: đây là quy tắc nhân trong bài Quy tắc đếm.

Chỉnh hợp

Tổ hợp

Mỗi tập con gồm $k$ đối tượng có thể được sắp xếp theo $k!$ cách, nên chia số chỉnh hợp cho $k!$ sẽ loại bỏ thứ tự.

Hai quy tắc hữu ích:

Tính đối xứng: $C_n^k=C_n^{n-k}$ (chọn người ở lại cũng như chọn người ra đi).
Công thức Pascal: $C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$ . Chẳng hạn $C_5^2+C_5^3=10+10=20=C_6^3$ .

Bài toán có nhiều nhóm

Điều kiện: đứng cạnh nhau và không cạnh nhau

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
giai thừa	factorial
hoán vị	permutation
chỉnh hợp	arrangement
tổ hợp	combination
hệ số nhị thức	binomial coefficient
có thứ tự / không có thứ tự	ordered / unordered
ban (nhóm) đại diện	committee
phần bù	complement

Tóm tắt

$n!$ là số cách sắp xếp thứ tự $n$ đối tượng.
$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ đếm lựa chọn có thứ tự; $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ đếm lựa chọn không có thứ tự.
$C_n^k=C_n^{n-k}$ và $C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$ .
Phép thử: đổi chỗ hai đối tượng đã chọn có làm kết quả thay đổi không?

Luyện tập

Tính $6!$ .
Tính $A_7^2$ .
Tính $C_{10}^3$ .
Tìm $n$ nếu $C_n^2=28$ .
Từ $7$ nam và $5$ nữ, chọn một đội gồm $3$ nam và $2$ nữ. Có bao nhiêu cách?
Có bao nhiêu số có $3$ chữ số khác nhau lập từ các chữ số $1, 2, \dots, 7$ ?
Sáu người đứng thành một hàng. Có bao nhiêu cách nếu A và B không đứng cạnh nhau?
Có bao nhiêu từ (không nhất thiết có nghĩa) lập từ các chữ cái của MATH? Có bao nhiêu từ bắt đầu bằng M?
Thử thách. Một đa giác $10$ cạnh có bao nhiêu đường chéo?
Thử thách. Có tám điểm được đánh dấu trên một đường tròn. Có bao nhiêu tam giác và bao nhiêu tứ giác có các đỉnh là các điểm này?

Xem lời giải

$6!=720$ .
$7\cdot6=42$ .
$\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120$ .
$\frac{n(n-1)}{2}=28$ , suy ra $n^2-n-56=0$ và $n=8$ (loại nghiệm âm).
$C_7^3\cdot C_5^2=35\cdot10=350$ .
Thứ tự quan trọng: $A_7^3=7\cdot6\cdot5=210$ .
Tổng $6!=720$ . A và B đứng cạnh nhau: $2\cdot5!=240$ . Không cạnh nhau: $720-240=480$ .
$4!=24$ từ. Khi M đứng đầu, ba chữ cái còn lại có $3!=6$ cách sắp xếp.
Số cặp đỉnh $C_{10}^2=45$ trừ $10$ cạnh: $35$ .
Tam giác $C_8^3=56$ ; tứ giác $C_8^4=70$ (bốn điểm bất kì trên đường tròn đều tạo thành một tứ giác).