Hàm số | Lớp 10

Bác tài bật đồng hồ tính tiền. Đi càng xa, bạn trả càng nhiều, và với mỗi quãng đường chỉ có một số tiền duy nhất. Ý tưởng "mỗi giá trị đầu vào cho đúng một giá trị đầu ra" chính là cốt lõi của khái niệm hàm số. Hầu hết các công thức trong khoa học, kinh tế và đời sống đều là hàm số.

Hàm số là gì?

Hàm số có thể cho bằng công thức ( $f(x)=3x-2$ ), bằng bảng giá trị, bằng đồ thị, hoặc bằng lời ("giá tiền của chuyến đi dài $x$ km"). Một quan hệ cho hai giá trị khác nhau ứng với cùng một $x$ thì không phải hàm số: đường tròn $x^2+y^2=1$ không phải đồ thị của hàm số, vì $x=0$ cho cả $y=1$ lẫn $y=-1$ . Trên đồ thị, ta kiểm tra bằng cách vẽ các đường thẳng đứng: không có đường thẳng đứng nào cắt đồ thị tại hai điểm.

Khi hàm số cho bằng công thức mà không nói gì thêm, tập xác định là tập tất cả các số thực $x$ làm cho công thức có nghĩa. Cần chú ý hai điều: mẫu khác $0$ và biểu thức dưới dấu căn không âm.

Đọc đồ thị

Đồ thị của hàm số

f(x)=x^2-2x-3

Từ hình vẽ, không cần tính toán, ta đọc được:

$f(0)=-3$ , là điểm đồ thị cắt trục tung.
$f(x)=0$ khi $x=-1$ và $x=3$ (các không điểm của $f$ ).
Điểm thấp nhất là $(1; -4)$ nên tập giá trị là $[-4; +\infty)$ .
Đi từ trái sang phải, đồ thị đi xuống đến $x=1$ , rồi đi lên.

Vậy $f(x)=x^2-2x-3$ nghịch biến trên $(-\infty; 1)$ và đồng biến trên $(1; +\infty)$ .

Ví dụ Chứng minh hàm số đồng biến

Chứng minh $g(x)=x^2$ đồng biến trên $(0; +\infty)$ và nghịch biến trên $(-\infty; 0)$ .

Lời giải.

Lấy $x_1<x_2$ và xét $g(x_2)-g(x_1)=x_2^2-x_1^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1)$ .
Trên $(0; +\infty)$ : $x_2-x_1>0$ và $x_2+x_1>0$ nên hiệu dương, tức là $g(x_1)<g(x_2)$ . Hàm số đồng biến.
Trên $(-\infty; 0)$ : $x_2-x_1>0$ nhưng $x_2+x_1<0$ nên hiệu âm, tức là $g(x_1)>g(x_2)$ . Hàm số nghịch biến.

Hàm số cho bởi nhiều công thức

Đôi khi một công thức không đủ: quy tắc thay đổi theo giá trị của $x$ . Khi đó ta viết hàm số thành nhiều dòng.

Một hàm số cho bởi hai công thức

Hàm số trong thực tế: cước taxi

Một hãng taxi tính $15$ nghìn đồng cho kilômét đầu tiên (hoặc ít hơn) và $12$ nghìn đồng cho mỗi kilômét tiếp theo. Với quãng đường $d$ km, số tiền (nghìn đồng) là $T(d)=\begin{cases}15 & \text{nếu } 0<d\le 1,\\ 15+12(d-1) & \text{nếu } d>1.\end{cases}$

Cước taxi

T(d)

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
hàm số	function
tập xác định	domain
tập giá trị	range
biến số (đối số)	independent variable
đồ thị hàm số	graph of a function
đồng biến	increasing
nghịch biến	decreasing
hàm số cho bởi nhiều công thức	piecewise function
không điểm (nghiệm) của hàm số	zero of a function

Tóm tắt

Hàm số cho mỗi $x$ thuộc tập xác định đúng một giá trị $f(x)$ ; có thể cho bằng công thức, bảng, đồ thị hoặc lời.
Tập xác định của hàm số cho bằng công thức: mọi $x$ làm công thức có nghĩa (mẫu $\ne0$ , biểu thức dưới căn $\ge0$ ).
$f$ đồng biến trên $K$ nếu $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ , nghịch biến nếu $f(x_1)>f(x_2)$ .
Hàm số nhiều công thức dùng các công thức khác nhau trên các phần khác nhau của tập xác định; luôn chọn dòng theo điều kiện.

Luyện tập

Cho $f(x)=3x-2$ . Tính $f(-1)$ và $f(4)$ .
Tìm tập xác định của $f(x)=\sqrt{5-x}$ .
Tìm tập xác định của $f(x)=\dfrac{1}{x^2-4}$ .
Một bảng cho các cặp $(x; y)$ : $(1; 4)$ , $(2; 5)$ , $(2; 6)$ , $(3; 7)$ . Bảng này có xác định $y$ là hàm số của $x$ không? Vì sao?
Chứng minh $h(x)=-2x+5$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .
Cho $f(x)=\begin{cases} x+2 & x<0,\\ x^2 & x\ge 0.\end{cases}$ Giải $f(x)=9$ và $f(x)=-1$ .
Một công ty điện tính $2$ nghìn đồng cho mỗi kWh trong $50$ kWh đầu và $2{,}5$ nghìn đồng cho mỗi kWh vượt quá $50$ . Viết tiền điện $B(x)$ cho $x$ kWh dưới dạng hàm số nhiều công thức, rồi tính tiền điện của $80$ kWh và số kWh ứng với hoá đơn $300$ nghìn đồng.
Tìm tập giá trị của $f(x)=x^2-4x+7$ trên $\mathbb{R}$ . (Gợi ý: $x^2-4x+7=(x-2)^2+3$ .)
Nâng cao. Tìm tập xác định của $f(x)=\sqrt{x+3}+\dfrac{1}{\sqrt{2-x}}$ .
Nâng cao. Tìm tập giá trị của $f(x)=x^2-4x+7$ trên đoạn $[0; 3]$ .

Xem lời giải

$f(-1)=3\cdot(-1)-2=-5$ ; $f(4)=12-2=10$ .
Cần $5-x\ge0$ , tức $x\le5$ . $D=(-\infty; 5]$ .
Cần $x^2-4\ne0$ , tức $x\ne2$ và $x\ne-2$ . $D=\mathbb{R}\setminus\{-2; 2\}$ .
Không. Giá trị $x=2$ ứng với hai giá trị khác nhau của $y$ là $5$ và $6$ .
Lấy $x_1<x_2$ . Khi đó $h(x_1)-h(x_2)=-2x_1+2x_2=2(x_2-x_1)>0$ , nên $h(x_1)>h(x_2)$ : hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .
$f(x)=9$ : nếu $x<0$ thì $x+2=9$ cho $x=7$ , không thoả $x<0$ , loại. Nếu $x\ge0$ thì $x^2=9$ cho $x=3$ (loại $x=-3$ ). Vậy $x=3$ . $f(x)=-1$ : nếu $x<0$ , $x+2=-1$ cho $x=-3$ , thoả mãn. Nếu $x\ge0$ , $x^2=-1$ vô nghiệm. Vậy $x=-3$ .
$B(x)=2x$ với $0\le x\le50$ và $B(x)=100+2{,}5(x-50)$ với $x>50$ . Với $80$ kWh: $100+2{,}5\cdot30=175$ nghìn đồng. Với hoá đơn $300>100$ : $100+2{,}5(x-50)=300$ , suy ra $x-50=80$ , $x=130$ kWh.
$(x-2)^2\ge0$ nên $f(x)\ge3$ , dấu bằng xảy ra khi $x=2$ ; mọi giá trị $\ge3$ đều đạt được. Tập giá trị là $[3; +\infty)$ .
Cần $x+3\ge0$ và $2-x>0$ (căn nằm ở mẫu nên không được bằng $0$ ). Vậy $x\ge-3$ và $x<2$ : $D=[-3; 2)$ .
$f(x)=(x-2)^2+3$ . Hoành độ đỉnh $x=2$ thuộc $[0; 3]$ nên giá trị nhỏ nhất là $f(2)=3$ . Tại hai đầu mút, $f(0)=7$ và $f(3)=4$ , nên giá trị lớn nhất là $7$ . Hàm số liên tục nên tập giá trị là $[3; 7]$ .