Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách | Lớp 10

Hai con đường trên bản đồ hoặc cắt nhau, hoặc chạy song song, hoặc là một con đường được vẽ hai lần. Người đo đạc còn muốn biết chúng cắt nhau dưới góc nào và ngôi nhà cách đường bao xa. Tất cả đều suy ra từ vectơ pháp tuyến của các đường thẳng.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho $d_1: a_1x+b_1y+c_1=0$ và $d_2: a_2x+b_2y+c_2=0$ với các vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1=(a_1; b_1)$ và $\vec{n}_2=(a_2; b_2)$ .

Ví dụ Ba trường hợp

Xác định vị trí của mỗi cặp. a) $x+y-3=0$ và $2x-y=0$ . b) $2x-4y+6=0$ và $x-2y-5=0$ . c) $2x-4y+6=0$ và $x-2y+3=0$ .

Lời giải.

a) $1\cdot(-1)-2\cdot 1=-3\neq 0$ : hai đường thẳng cắt nhau. Từ $y=2x$ : $x+2x-3=0$ , suy ra $x=1$ , $y=2$ . Giao điểm là $(1; 2)$ .
b) $2\cdot(-2)-1\cdot(-4)=0$ , nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Vì $\frac{2}{1}=\frac{-4}{-2}=2\neq\frac{6}{-5}$ nên hai đường thẳng song song.
c) $\frac{2}{1}=\frac{-4}{-2}=\frac{6}{3}=2$ : các phương trình tỉ lệ nên hai đường thẳng trùng nhau.

Góc giữa hai đường thẳng

Góc $\varphi$ giữa hai đường thẳng nằm trong khoảng từ $0^\circ$ đến $90^\circ$ và $\cos\varphi=\frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\,|\vec{n}_2|}=\frac{|a_1a_2+b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}}.$ Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi $a_1a_2+b_1b_2=0$ .

Hai đường thẳng cắt nhau dưới góc

45^\circ

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Với hai đường thẳng song song, lấy một điểm bất kì trên đường này rồi đo đến đường kia. Với $ax+by+c_1=0$ và $ax+by+c_2=0$ , khoảng cách là $\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ .

Đường cao và diện tích tam giác

Tam giác

ABC

Ví dụ Đường cao và diện tích

Tam giác $ABC$ có $A(1; 1)$ , $B(5; 1)$ và $C(3; 5)$ . Tìm đường cao kẻ từ $A$ và diện tích tam giác.

Lời giải. $\overrightarrow{BC}=(-2; 4)$ , nên một vectơ pháp tuyến của $BC$ là $(2; 1)$ (hoặc $(4; 2)$ ). Đường thẳng $BC$ : $2(x-5)+(y-1)=0$ , tức $2x+y-11=0$ . Đường cao kẻ từ $A$ là $h_A=\frac{|2+1-11|}{\sqrt5}=\frac{8}{\sqrt5}.$ Lại có $BC=\sqrt{4+16}=2\sqrt5$ , nên diện tích là $\frac12\cdot 2\sqrt5\cdot\frac{8}{\sqrt5}=8$ . Kiểm tra với đáy $AB=4$ và chiều cao $4$ (tung độ của $C$ trừ $1$ ): $\frac12\cdot 4\cdot 4=8$ ✓.

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
vị trí tương đối	relative position
cắt nhau	intersect
trùng nhau	coincide
song song	parallel
góc giữa hai đường thẳng	angle between two lines
khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng	distance from a point to a line
đường cao	height
diện tích	area

Tóm tắt

So sánh $\vec{n}_1,\vec{n}_2$ : không cùng phương thì cắt nhau; cùng phương thì song song hoặc trùng (kiểm tra thêm $c$ ).
$\cos\varphi=\frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}$ , và vuông góc khi $a_1a_2+b_1b_2=0$ .
$d(M_0, d)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ .
Đường cao và diện tích tam giác suy ra từ khoảng cách và độ dài.

Luyện tập

Xác định vị trí của $2x-y+1=0$ và $4x-2y+3=0$ .
Tìm giao điểm của $3x+2y-6=0$ và $x-y+2=0$ .
Tìm góc giữa $x+y=0$ và $x+3y-2=0$ (làm tròn đến $0{,}01^\circ$ ).
Tìm $m$ để $(m+1)x+2y-3=0$ vuông góc với $x-y+4=0$ .
Tìm khoảng cách từ gốc toạ độ đến $5x+12y-26=0$ .
Tìm khoảng cách từ $A(2; -1)$ đến $3x-4y+5=0$ .
Tìm khoảng cách giữa $2x-y+1=0$ và $2x-y-4=0$ .
Với $A(1; 1)$ , $B(5; 4)$ , $C(2; 5)$ hãy viết phương trình $AB$ , tìm đường cao kẻ từ $C$ và diện tích tam giác $ABC$ .
Thử thách. Tìm các điểm trên trục hoành có khoảng cách đến $3x+4y-5=0$ bằng $3$ .
Thử thách. Tìm khoảng cách từ $A(1; 1)$ đến đường thẳng đi qua $B(2; -1)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(3; 4)$ .

Xem lời giải

$\frac{2}{4}=\frac{-1}{-2}=\frac12\neq\frac13$ : hai đường thẳng song song (phân biệt).
Từ $x=y-2$ : $3(y-2)+2y-6=0$ , suy ra $5y=12$ , $y=\frac{12}{5}$ và $x=\frac25$ . Giao điểm là $\left(\frac25; \frac{12}{5}\right)$ .
$\cos\varphi=\frac{|1+3|}{\sqrt2\sqrt{10}}=\frac{4}{\sqrt{20}}=\frac{2}{\sqrt5}$ , nên $\varphi\approx 26{,}57^\circ$ .
$(m+1)\cdot 1+2\cdot(-1)=0$ , suy ra $m=1$ .
$\frac{|{-26}|}{\sqrt{25+144}}=\frac{26}{13}=2$ .
$\frac{|6+4+5|}{\sqrt{9+16}}=\frac{15}{5}=3$ .
$\frac{|1-(-4)|}{\sqrt{4+1}}=\frac{5}{\sqrt5}=\sqrt5$ .
$\overrightarrow{AB}=(4; 3)$ , $\vec{n}=(3; -4)$ : $3(x-1)-4(y-1)=0$ , tức $3x-4y+1=0$ . Đường cao kẻ từ $C$ : $\frac{|6-20+1|}{5}=\frac{13}{5}=2{,}6$ . $AB=5$ , nên diện tích là $\frac12\cdot 5\cdot 2{,}6=6{,}5$ .
$M(t; 0)$ : $\frac{|3t-5|}{5}=3$ , suy ra $3t-5=\pm15$ , cho $t=\frac{20}{3}$ hoặc $t=-\frac{10}{3}$ . Các điểm là $\left(\frac{20}{3}; 0\right)$ và $\left(-\frac{10}{3}; 0\right)$ .
$\vec{n}=(4; -3)$ : $4(x-2)-3(y+1)=0$ , tức $4x-3y-11=0$ . Khoảng cách từ $A$ : $\frac{|4-3-11|}{5}=\frac{10}{5}=2$ .