Mục tiêu bài học
Cộng hai vectơ bằng quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành.
Dùng các tính chất của phép cộng vectơ và vectơ đối để rút gọn biểu thức.
Trừ hai vectơ và vận dụng hệ thức O A → − O B → = B A → \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA} O A − O B = B A
Dùng hệ thức trung điểm, trọng tâm và cộng các lực, vận tốc.
Bạn đi 300 m về phía đông đến cổng trường, rồi đi tiếp 400 m về phía bắc đến thư viện. So với chỗ xuất phát, bạn đang ở đâu? Không phải cách 700 m, mà chỉ cách điểm xuất phát 500 m, theo hướng nằm giữa đông và bắc. Hai độ dời được gộp thành một độ dời duy nhất. Đó chính là ý nghĩa của phép cộng vectơ, và cũng là cách các nhà vật lí cộng lực, cách phi công tính đến gió.
Cộng hai vectơ
Quy tắc ba điểm
Cho hai vectơ a ⃗ \vec{a} a b ⃗ \vec{b} b A A A A B → = a ⃗ \overrightarrow{AB} = \vec{a} A B = a B B B B C → = b ⃗ \overrightarrow{BC} = \vec{b} B C = b A C → \overrightarrow{AC} A C
Định nghĩa Tổng của hai vectơ (quy tắc ba điểm)
Với ba điểm A A A B B B C C C A B → + B C → = A C → . \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. A B + B C = A C . a ⃗ + b ⃗ \vec{a} + \vec{b} a + b b ⃗ \vec{b} b a ⃗ \vec{a} a
a b a+b A B C Quy tắc ba điểm: a ⃗ + b ⃗ \vec{a} + \vec{b} a + b Hãy để ý rằng quy tắc đúng với mọi bộ ba điểm, kể cả khi ba điểm thẳng hàng, và điểm B B B B B B B B B
Quy tắc hình bình hành
Nếu hai vectơ cùng xuất phát từ điểm O O O O A → = a ⃗ \overrightarrow{OA} = \vec{a} O A = a O D → = b ⃗ \overrightarrow{OD} = \vec{b} O D = b O A C D OACD O A C D O O O
Định lí Quy tắc hình bình hành
Nếu O A C D OACD O A C D O A → + O D → = O C → . \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OC}. O A + O D = O C .
Điều này suy ra từ quy tắc ba điểm: trong hình bình hành A C → = O D → \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OD} A C = O D O A → + O D → = O A → + A C → = O C → \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} O A + O D = O A + A C = O C
a b a+b O A D C Quy tắc hình bình hành Tính chất của phép cộng
Với mọi vectơ a ⃗ \vec{a} a b ⃗ \vec{b} b c ⃗ \vec{c} c
Tính chất
Công thức
Giao hoán
a ⃗ + b ⃗ = b ⃗ + a ⃗ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} a + b = b + a
Kết hợp
( a ⃗ + b ⃗ ) + c ⃗ = a ⃗ + ( b ⃗ + c ⃗ ) (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) ( a + b ) + c = a + ( b + c )
Vectơ-không
a ⃗ + 0 ⃗ = 0 ⃗ + a ⃗ = a ⃗ \vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a} a + 0 = 0 + a = a
Vectơ đối
a ⃗ + ( − a ⃗ ) = 0 ⃗ \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0} a + ( − a ) = 0
Tính giao hoán thực chất là quy tắc hình bình hành, vì O A → + O D → \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD} O A + O D O D → + O A → \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OA} O D + O A O C → \overrightarrow{OC} O C A B → + B C → + C D → = A D → . \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}. A B + B C + C D = A D . A B → + B A → = A A → = 0 ⃗ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0} A B + B A = AA = 0
Ví dụ Đường đi khép kín
Với bốn điểm A A A B B B C C C D D D A B → + B C → + C D → + D A → = 0 ⃗ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0} A B + B C + C D + D A = 0 A B → + C D → + B C → + D A → \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} A B + C D + B C + D A
Lời giải.
Dùng quy tắc ba điểm hai lần: A B → + B C → = A C → \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} A B + B C = A C A C → + C D → = A D → \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} A C + C D = A D
Vậy A B → + B C → + C D → + D A → = A D → + D A → = A A → = 0 ⃗ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0} A B + B C + C D + D A = A D + D A = AA = 0
Ở tổng thứ hai, thứ tự các số hạng khác đi. Phép cộng có tính giao hoán nên ta sắp xếp lại: A B → + C D → + B C → + D A → = A B → + B C → + C D → + D A → = 0 ⃗ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0} A B + C D + B C + D A = A B + B C + C D + D A = 0
Đi theo một đường khép kín quay về chỗ xuất phát thì tổng độ dời bằng 0 ⃗ \vec{0} 0
Hiệu của hai vectơ
Định nghĩa Hiệu của hai vectơ
Hiệu của hai vectơ a ⃗ \vec{a} a b ⃗ \vec{b} b a ⃗ \vec{a} a b ⃗ \vec{b} b a ⃗ − b ⃗ = a ⃗ + ( − b ⃗ ) . \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}). a − b = a + ( − b ) .
Dạng hữu ích nhất của phép trừ là: với ba điểm O O O A A A B B B O A → − O B → = B A → . \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}. O A − O B = B A . O A → − O B → = O A → + B O → = B O → + O A → = B A → \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{BA} O A − O B = O A + B O = B O + O A = B A hiệu của hai vectơ cùng điểm đầu là vectơ nối hai điểm cuối, hướng về điểm cuối của vectơ thứ nhất.
a b a−b O A B Hiệu a ⃗ − b ⃗ \vec{a} - \vec{b} a − b Ví dụ Phép trừ trong hình bình hành
A B C D ABCD A B C D A B = 6 AB = 6 A B = 6 A D = 8 AD = 8 A D = 8 ∣ A B → + A D → ∣ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| ∣ A B + A D ∣ ∣ A B → − A D → ∣ |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}| ∣ A B − A D ∣
Lời giải.
Vì A B C D ABCD A B C D A B → + A D → = A C → \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} A B + A D = A C
Theo quy tắc hiệu, A B → − A D → = D B → \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB} A B − A D = D B
Trong hình chữ nhật hai đường chéo bằng nhau, và theo định lí Pythagore A C = D B = 6 2 + 8 2 = 10 AC = DB = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 A C = D B = 6 2 + 8 2 = 10
Do đó ∣ A B → + A D → ∣ = 10 |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| = 10 ∣ A B + A D ∣ = 10 ∣ A B → − A D → ∣ = 10 |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}| = 10 ∣ A B − A D ∣ = 10
Hai vectơ này khác nhau (hướng khác nhau) nhưng có cùng độ dài.
Trung điểm và trọng tâm
Vì sao hệ thức thứ nhất đúng? Nếu M M M M A → \overrightarrow{MA} M A M B → \overrightarrow{MB} M B 0 ⃗ \vec{0} 0
Ví dụ Chứng minh hệ thức trọng tâm
Gọi G G G A B C ABC A B C M M M B C BC B C G A → + G B → + G C → = 0 ⃗ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0} G A + GB + GC = 0
Lời giải.
Vì M M M B C BC B C G B → + G C → = 2 G M → \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GM} GB + GC = 2 GM G B → = G M → + M B → \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MB} GB = GM + M B G C → = G M → + M C → \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MC} GC = GM + M C M B → + M C → = 0 ⃗ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \vec{0} M B + M C = 0
Trọng tâm nằm trên trung tuyến A M AM A M G A = 2 G M GA = 2\,GM G A = 2 GM G G G A A A M M M G A → \overrightarrow{GA} G A G M → \overrightarrow{GM} GM ∣ G A → ∣ = 2 ∣ G M → ∣ |\overrightarrow{GA}| = 2|\overrightarrow{GM}| ∣ G A ∣ = 2∣ GM ∣ G A → = − 2 G M → \overrightarrow{GA} = -2\overrightarrow{GM} G A = − 2 GM
Do đó G A → + G B → + G C → = − 2 G M → + 2 G M → = 0 ⃗ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = -2\overrightarrow{GM} + 2\overrightarrow{GM} = \vec{0} G A + GB + GC = − 2 GM + 2 GM = 0
Lực và vận tốc
Khi hai lực cùng tác dụng lên một vật, lực duy nhất có tác dụng tương đương gọi là hợp lực : đó là tổng của hai vectơ lực. Vận tốc cũng cộng như vậy, chẳng hạn vận tốc của chiếc thuyền và dòng nước chảy.
b c v O A B C Thuyền qua sông Ví dụ Thuyền và dòng nước
Một chiếc thuyền hướng mũi thẳng sang bờ bên kia và chạy với vận tốc 4 4 4 3 3 3
Lời giải.
Gọi b ⃗ \vec{b} b ∣ b ⃗ ∣ = 4 |\vec{b}| = 4 ∣ b ∣ = 4 c ⃗ \vec{c} c ∣ c ⃗ ∣ = 3 |\vec{c}| = 3 ∣ c ∣ = 3 v ⃗ = b ⃗ + c ⃗ \vec{v} = \vec{b} + \vec{c} v = b + c
Hình bình hành dựng trên b ⃗ \vec{b} b c ⃗ \vec{c} c v ⃗ \vec{v} v
Theo định lí Pythagore, ∣ v ⃗ ∣ = 4 2 + 3 2 = 25 = 5 |\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 ∣ v ∣ = 4 2 + 3 2 = 25 = 5
Tốc độ so với bờ là 5 5 5 3 3 3 4 4 4 5 5 5 500 500 500
Thuật ngữ
Thuật ngữ
Tiếng Việt English tổng của hai vectơ sum of vectors quy tắc ba điểm triangle rule quy tắc hình bình hành parallelogram rule tính chất giao hoán commutative property tính chất kết hợp associative property vectơ đối opposite vector hiệu của hai vectơ difference of vectors trung điểm midpoint trọng tâm centroid hợp lực resultant force
Tóm tắt
Quy tắc ba điểm: A B → + B C → = A C → \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} A B + B C = A C O A C D OACD O A C D O A → + O D → = O C → \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OC} O A + O D = O C
Phép cộng có tính giao hoán, kết hợp, a ⃗ + 0 ⃗ = a ⃗ \vec{a} + \vec{0} = \vec{a} a + 0 = a a ⃗ + ( − a ⃗ ) = 0 ⃗ \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0} a + ( − a ) = 0
Hiệu: a ⃗ − b ⃗ = a ⃗ + ( − b ⃗ ) \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) a − b = a + ( − b ) O A → − O B → = B A → \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA} O A − O B = B A
M M M A B AB A B M A → + M B → = 0 ⃗ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0} M A + M B = 0 G G G A B C ABC A B C G A → + G B → + G C → = 0 ⃗ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0} G A + GB + GC = 0 Lực và vận tốc cộng theo quy tắc vectơ, nên hợp lực là đường chéo của hình bình hành.
Luyện tập
Luyện tập
Rút gọn (a) M N → + N P → + P Q → \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PQ} M N + N P + P Q A B → − A C → \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} A B − A C A B → + B C → − A D → \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AD} A B + B C − A D
A B C D ABCD A B C D 4 4 4 ∣ A B → + A D → ∣ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}| ∣ A B + A D ∣ ∣ A B → − A D → ∣ |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}| ∣ A B − A D ∣ ∣ A B → + C D → ∣ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}| ∣ A B + C D ∣ Với bốn điểm A A A B B B C C C D D D A B → + C D → = A D → + C B → \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} A B + C D = A D + C B
A B C D ABCD A B C D O O O O A → + O C → = 0 ⃗ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{0} O A + O C = 0 O A → + O B → + O C → + O D → = 0 ⃗ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \vec{0} O A + O B + O C + O D = 0 I I I A B AB A B A B C ABC A B C C A → + C B → = 2 C I → \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = 2\overrightarrow{CI} C A + C B = 2 C I Một chiếc thuyền chạy với vận tốc 6 6 6 8 8 8
Hai lực có độ lớn 20 20 20 120 ∘ 120^\circ 12 0 ∘
A B C ABC A B C 6 6 6 ∣ A B → + A C → ∣ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| ∣ A B + A C ∣ ∣ A B → − A C → ∣ |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}| ∣ A B − A C ∣ (Thử thách) G G G A B C ABC A B C M M M M A → + M B → + M C → = 3 M G → \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG} M A + M B + M C = 3 M G
(Thử thách) A B C D ABCD A B C D M M M A B AB A B N N N C D CD C D M N → = 1 2 ( A D → + B C → ) \overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}) M N = 2 1 ( A D + B C )
Xem lời giải
(a) Theo quy tắc ba điểm, M N → + N P → + P Q → = M P → + P Q → = M Q → \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{MQ} M N + N P + P Q = M P + P Q = M Q A B → − A C → = C B → \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB} A B − A C = C B A A A B B B A B → + B C → = A C → \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} A B + B C = A C A C → − A D → = D C → \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC} A C − A D = D C
A B → + A D → = A C → \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} A B + A D = A C 4 2 4\sqrt{2} 4 2 A B → − A D → = D B → \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB} A B − A D = D B 4 2 4\sqrt{2} 4 2 C D → = B A → \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} C D = B A A B → + C D → = A B → + B A → = 0 ⃗ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0} A B + C D = A B + B A = 0 0 0 0 Chèn thêm điểm D D D B B B A B → + C D → = ( A D → + D B → ) + ( C B → + B D → ) = A D → + C B → + ( D B → + B D → ) = A D → + C B → + 0 ⃗ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}) + (\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD}) = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + (\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BD}) = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \vec{0} A B + C D = ( A D + D B ) + ( C B + B D ) = A D + C B + ( D B + B D ) = A D + C B + 0
Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, nên O O O A C AC A C B D BD B D O A → + O C → = 0 ⃗ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{0} O A + O C = 0 O B → + O D → = 0 ⃗ \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \vec{0} O B + O D = 0
C A → = C I → + I A → \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{IA} C A = C I + I A C B → = C I → + I B → \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{IB} C B = C I + I B C A → + C B → = 2 C I → + ( I A → + I B → ) = 2 C I → \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = 2\overrightarrow{CI} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) = 2\overrightarrow{CI} C A + C B = 2 C I + ( I A + I B ) = 2 C I I I I A B AB A B Vận tốc so với bờ là đường chéo của hình chữ nhật có hai cạnh 6 6 6 8 8 8 6 2 + 8 2 = 100 = 10 \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 6 2 + 8 2 = 100 = 10
Vẽ O A → \overrightarrow{OA} O A O B → \overrightarrow{OB} O B O A = O B = 20 OA = OB = 20 O A = O B = 20 A O B ^ = 120 ∘ \widehat{AOB} = 120^\circ A O B = 12 0 ∘ O A C B OACB O A C B O C → \overrightarrow{OC} O C O A C ^ = 180 ∘ − 120 ∘ = 60 ∘ \widehat{OAC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ O A C = 18 0 ∘ − 12 0 ∘ = 6 0 ∘ A O = A C AO = AC A O = A C O A C OAC O A C O C = 20 OC = 20 O C = 20 20 20 20
A B → + A C → = 2 A M → \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM} A B + A C = 2 A M M M M B C BC B C 6 6 6 A M = 3 3 AM = 3\sqrt{3} A M = 3 3 6 3 6\sqrt{3} 6 3 A B → − A C → = C B → \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB} A B − A C = C B B C = 6 BC = 6 B C = 6 Viết M A → = M G → + G A → \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} M A = M G + G A B B B C C C M A → + M B → + M C → = 3 M G → + ( G A → + G B → + G C → ) = 3 M G → \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) = 3\overrightarrow{MG} M A + M B + M C = 3 M G + ( G A + GB + GC ) = 3 M G
Đi từ M M M N N N M N → = M A → + A D → + D N → \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} M N = M A + A D + D N M N → = M B → + B C → + C N → \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN} M N = M B + B C + C N 2 M N → = ( M A → + M B → ) + ( A D → + B C → ) + ( D N → + C N → ) 2\overrightarrow{MN} = (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}) + (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{DN} + \overrightarrow{CN}) 2 M N = ( M A + M B ) + ( A D + B C ) + ( D N + C N ) 0 ⃗ \vec{0} 0 M M M N N N M N → = 1 2 ( A D → + B C → ) \overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}) M N = 2 1 ( A D + B C )