Tập hợp và các phép toán trên tập hợp | Lớp 10

Lớp học của em, các bài hát trong điện thoại, các số chẵn: ta luôn gom đồ vật thành nhóm. Toán học đặt tên cho một nhóm như vậy là tập hợp và cung cấp vài công cụ đơn giản để làm việc với nó. Hầu hết các chủ đề sau này, từ phương trình đến xác suất, đều được viết bằng ngôn ngữ này.

Tập hợp và phần tử

Tập hợp là một nhóm các đối tượng phân biệt, gọi là các phần tử. Ta viết $a \in A$ nếu $a$ là phần tử của $A$ và $a \notin A$ nếu không phải.

Có hai cách mô tả một tập hợp.

Liệt kê: $A=\{2,4,6,8\}$ . Thứ tự không quan trọng và viết lặp một phần tử không làm thay đổi tập hợp.
Nêu tính chất đặc trưng: $A=\{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ chẵn và } x \le 8,\ x>0\}$ . Đọc là "tập hợp các số $x$ thuộc $\mathbb{N}$ sao cho ...".

Số phần tử của tập hợp hữu hạn $A$ kí hiệu là $n(A)$ . Tập rỗng $\emptyset$ không có phần tử nào nên $n(\emptyset)=0$ .

Tập hợp con và hai tập hợp bằng nhau

Chẳng hạn $\{1,2\}\subset\{1,2,3\}$ . Tập $\{1,2,3\}$ có $8$ tập con: $\emptyset$ , $\{1\}$ , $\{2\}$ , $\{3\}$ , $\{1,2\}$ , $\{1,3\}$ , $\{2,3\}$ , $\{1,2,3\}$ .

Các tập số

$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}$ là tập số tự nhiên, và $\mathbb{N}^*=\{1,2,3,\dots\}$ là tập số tự nhiên khác $0$ .
$\mathbb{Z}$ : tập số nguyên $\dots,-2,-1,0,1,2,\dots$
$\mathbb{Q}$ : tập số hữu tỉ, gồm các số có dạng $\dfrac{p}{q}$ với $p,q\in\mathbb{Z}$ , $q\neq 0$ .
$\mathbb{R}$ : tập số thực, gồm mọi điểm của trục số.

Các tập này lồng vào nhau: $\mathbb{N}^*\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ . Số $\sqrt{2}$ thuộc $\mathbb{R}$ nhưng không thuộc $\mathbb{Q}$ .

Khoảng, đoạn, nửa khoảng

Nhiều tập con của $\mathbb{R}$ là các "đoạn" của trục số. Giả sử $a<b$ .

Tập hợp	Tên gọi	Kí hiệu
$\{x \mid a<x<b\}$	khoảng	$(a; b)$
$\{x \mid a\le x\le b\}$	đoạn	$[a; b]$
$\{x \mid a\le x<b\}$	nửa khoảng	$[a; b)$
$\{x \mid a<x\le b\}$	nửa khoảng	$(a; b]$
$\{x \mid x>a\}$ và $\{x\mid x\ge a\}$	nửa khoảng (tia)	$(a; +\infty)$ và $[a; +\infty)$
$\{x \mid x<b\}$ và $\{x\mid x\le b\}$	nửa khoảng (tia)	$(-\infty; b)$ và $(-\infty; b]$

Dấu ngoặc vuông nghĩa là lấy đầu mút (chấm đặc), dấu ngoặc tròn nghĩa là không lấy (chấm rỗng). Kí hiệu vô cực không bao giờ được lấy.

Khoảng

[-1; 3)

Nửa khoảng

(-\infty; 2]

Các phép toán trên tập hợp

Biểu đồ Ven của

A

và

B

Các phép toán trên khoảng, đoạn

Ví dụ Các phép toán trên khoảng, đoạn

Cho $A=[-2; 3]$ và $B=(1; 5)$ . Tìm $A\cap B$ , $A\cup B$ , $A\setminus B$ và phần bù của $A$ trong $\mathbb{R}$ .

Lời giải. Vẽ hai tập lên trục số rồi đọc kết quả.

$A\cap B$ : các số thoả $\ge -2$ , $\le 3$ và $>1$ , $<5$ . Vậy $1<x\le 3$ : $A\cap B=(1; 3]$ .
$A\cup B$ : từ $-2$ (lấy) đến $5$ (không lấy), không bị hở vì $B$ bắt đầu bên trong $A$ : $A\cup B=[-2; 5)$ .
$A\setminus B$ : các điểm của $A$ không thuộc $(1;5)$ . Còn lại $-2\le x\le 1$ , và $1$ không thuộc $B$ nên được giữ: $A\setminus B=[-2; 1]$ .
Phần bù của $A$ : $x<-2$ hoặc $x>3$ , tức $(-\infty; -2)\cup(3; +\infty)$ .

Đếm số phần tử

Với tập hữu hạn, khi cộng $n(A)+n(B)$ các phần tử của $A\cap B$ bị đếm hai lần, nên ta trừ đi một lần:

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
tập hợp	set
phần tử	element
tập rỗng	empty set
tập hợp con	subset
hai tập hợp bằng nhau	equal sets
khoảng	interval
đoạn	segment (closed interval)
nửa khoảng	half-open interval
hợp	union
giao	intersection
hiệu	difference
phần bù	complement

Tóm tắt

Tập hợp được mô tả bằng cách liệt kê phần tử hoặc nêu tính chất đặc trưng; $\emptyset$ là tập rỗng; $A\subset B$ nghĩa là mọi phần tử của $A$ đều thuộc $B$ .
$\mathbb{N}^*\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ .
Khoảng, đoạn, nửa khoảng: ngoặc vuông ứng với đầu mút được lấy, ngoặc tròn ứng với đầu mút không lấy; vô cực luôn đi với ngoặc tròn.
Hợp nghĩa là "hoặc", giao nghĩa là "và", hiệu $A\setminus B$ là "thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$ ", phần bù là $E\setminus A$ .
$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ .

Luyện tập

Liệt kê các phần tử: (a) $\{x\in\mathbb{N}\mid 1<x\le 6\}$ , (b) $\{x\in\mathbb{Z}\mid -2\le x<3\}$ , (c) $\{x\in\mathbb{R}\mid x^2=9\}$ .
Viết bằng tính chất đặc trưng: (a) $\{1,3,5,7,9,11\}$ , (b) $\{3,6,9,12,15,18\}$ .
Đúng hay sai: (a) $5\in\mathbb{N}^*$ , (b) $-3\in\mathbb{N}$ , (c) $\tfrac12\in\mathbb{Q}$ , (d) $\sqrt{2}\in\mathbb{Q}$ , (e) $\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$ , (f) $0\in\mathbb{N}^*$ .
Liệt kê tất cả các tập con của $\{1,2,3\}$ chứa phần tử $1$ . Có bao nhiêu tập như vậy?
Viết dưới dạng khoảng, đoạn, nửa khoảng: (a) $\{x\in\mathbb{R}\mid -1<x\le 4\}$ , (b) $\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 2\}$ , (c) $\{x\in\mathbb{R}\mid x<0\}$ .
Cho $A=[-3; 2]$ và $B=(0; 6)$ . Tìm $A\cap B$ , $A\cup B$ , $A\setminus B$ , $B\setminus A$ .
Cho $A=\{x\in\mathbb{N}\mid x\le 6\}$ và $B=\{x\in\mathbb{N}\mid x\text{ chẵn},\ x\le 10\}$ . Tìm $A\cap B$ , $A\cup B$ , $A\setminus B$ và kiểm tra công thức đếm.
Lớp có $45$ học sinh, $30$ em thích Toán, $22$ em thích Văn và em nào cũng thích ít nhất một trong hai môn. Có bao nhiêu em thích cả hai?
Cho $A=(-\infty; 1]\cup(4; +\infty)$ . Tìm phần bù của $A$ trong $\mathbb{R}$ .
Thử thách. (a) Trong $100$ học sinh, có $60$ em nói được tiếng Anh, $45$ em nói được tiếng Pháp và $20$ em nói được cả hai. Có bao nhiêu em nói được đúng một trong hai thứ tiếng, bao nhiêu em không nói được thứ tiếng nào? (b) Tìm tất cả số thực $m$ để $[m; m+2]\subset[0; 5]$ .

Xem lời giải

(a) $\{2,3,4,5,6\}$ . (b) $\{-2,-1,0,1,2\}$ . (c) $x^2=9$ cho $x=\pm 3$ : $\{-3,3\}$ .
(a) Các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn $12$ : $\{x\in\mathbb{N}\mid x\text{ lẻ},\ x<12\}$ . (b) Các bội dương của $3$ không vượt quá $18$ : $\{x\in\mathbb{N}^*\mid x=3k,\ k\in\mathbb{N}^*,\ x\le 18\}$ .
(a) Đúng. (b) Sai, $-3$ là số âm. (c) Đúng. (d) Sai, $\sqrt2$ là số vô tỉ. (e) Đúng, mọi số nguyên $k$ đều bằng $\frac{k}{1}$ . (f) Sai, $0$ không dương.
Tập con chứa $1$ gồm $\{1\}$ cùng một tập con của $\{2,3\}$ : $\{1\}$ , $\{1,2\}$ , $\{1,3\}$ , $\{1,2,3\}$ . Có $4$ tập (bằng một nửa của $8$ tập con).
(a) $(-1; 4]$ . (b) $[2; +\infty)$ . (c) $(-\infty; 0)$ .
$A\cap B=(0; 2]$ . $A\cup B=[-3; 6)$ . $A\setminus B=[-3; 0]$ ( $0$ không thuộc $B$ ). $B\setminus A=(2; 6)$ ( $2$ thuộc $A$ nên bị loại).
$A=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ , $B=\{0,2,4,6,8,10\}$ . $A\cap B=\{0,2,4,6\}$ . $A\cup B=\{0,1,2,3,4,5,6,8,10\}$ . $A\setminus B=\{1,3,5\}$ . Kiểm tra: $n(A\cup B)=9$ và $7+6-4=9$ .
$n(A\cup B)=45$ nên $45=30+22-n(A\cap B)$ , suy ra $n(A\cap B)=52-45=7$ .
Các số không thuộc $A$ là các số có $x>1$ và $x\le 4$ : phần bù là $(1; 4]$ .
(a) Nói được ít nhất một thứ tiếng: $60+45-20=85$ . Đúng một thứ tiếng: $85-20=65$ (hay $40+25$ ). Không nói được thứ nào: $100-85=15$ . (b) Cần $m\ge 0$ và $m+2\le 5$ , tức $0\le m\le 3$ .