Mục tiêu bài học
Tìm góc giữa hai vectơ và nêu định nghĩa tích vô hướng a ⃗ ⋅ b ⃗ \vec{a}\cdot\vec{b} a ⋅ b
Dùng các tính chất của tích vô hướng để khai triển biểu thức.
Tính a ⃗ ⋅ b ⃗ \vec{a}\cdot\vec{b} a ⋅ b a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0 \vec{a}\cdot\vec{b}=0 a ⋅ b = 0
Tìm góc giữa hai vectơ và các góc của tam giác từ toạ độ.
Bạn kéo một chiếc xe trượt tuyết trên nền tuyết bằng sợi dây. Chỉ phần lực kéo dọc theo mặt đất làm xe chuyển động; phần nâng xe lên là phần lãng phí. Các nhà vật lí gói gọn điều này trong một con số: lực nhân quãng đường nhân côsin của góc giữa chúng. Các nhà toán học biến ý tưởng ấy thành phép nhân hai vectơ cho kết quả là một số : tích vô hướng.
Góc giữa hai vectơ
Đặt hai vectơ khác 0 ⃗ \vec{0} 0 a ⃗ \vec{a} a b ⃗ \vec{b} b O O O Góc giữa hai vectơ, kí hiệu ( a ⃗ , b ⃗ ) (\vec{a}, \vec{b}) ( a , b ) θ \theta θ 0 ∘ ≤ θ ≤ 180 ∘ 0^\circ\le\theta\le 180^\circ 0 ∘ ≤ θ ≤ 18 0 ∘
a b θ O Góc θ \theta θ a ⃗ \vec{a} a b ⃗ \vec{b} b Nếu θ = 0 ∘ \theta=0^\circ θ = 0 ∘ θ = 180 ∘ \theta=180^\circ θ = 18 0 ∘ θ = 90 ∘ \theta=90^\circ θ = 9 0 ∘ a ⃗ ⊥ b ⃗ \vec{a}\perp\vec{b} a ⊥ b
Định nghĩa tích vô hướng
Định nghĩa Tích vô hướng
Với hai vectơ khác 0 ⃗ \vec{0} 0 a ⃗ \vec{a} a b ⃗ \vec{b} b a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos ( a ⃗ , b ⃗ ) . \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos(\vec{a}, \vec{b}). a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos ( a , b ) . a ⃗ = 0 ⃗ \vec{a}=\vec{0} a = 0 b ⃗ = 0 ⃗ \vec{b}=\vec{0} b = 0 a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0 \vec{a}\cdot\vec{b}=0 a ⋅ b = 0
Kết quả là một số, không phải vectơ. Nó dương khi góc nhọn, âm khi góc tù và bằng 0 0 0 a ⃗ ⋅ a ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ 2 \vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2 a ⋅ a = ∣ a ∣ 2 0 ∘ 0^\circ 0 ∘ cos 0 ∘ = 1 \cos 0^\circ=1 cos 0 ∘ = 1
Ví dụ Công của một lực
Bạn kéo xe bằng lực 10 10 10 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘ 5 5 5
Lời giải. Công là tích vô hướng của vectơ lực và vectơ độ dời: A = 10 ⋅ 5 ⋅ cos 60 ∘ = 50 ⋅ 1 2 = 25 A=10\cdot 5\cdot\cos 60^\circ=50\cdot\frac12=25 A = 10 ⋅ 5 ⋅ cos 6 0 ∘ = 50 ⋅ 2 1 = 25
Tính chất
Định lí Tính chất của tích vô hướng
Với mọi vectơ a ⃗ , b ⃗ , c ⃗ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} a , b , c k k k
a ⃗ ⋅ b ⃗ = b ⃗ ⋅ a ⃗ \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a} a ⋅ b = b ⋅ a a ⃗ ⋅ ( b ⃗ + c ⃗ ) = a ⃗ ⋅ b ⃗ + a ⃗ ⋅ c ⃗ \vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c} a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c ( k a ⃗ ) ⋅ b ⃗ = k ( a ⃗ ⋅ b ⃗ ) = a ⃗ ⋅ ( k b ⃗ ) (k\vec{a})\cdot\vec{b}=k(\vec{a}\cdot\vec{b})=\vec{a}\cdot(k\vec{b}) ( k a ) ⋅ b = k ( a ⋅ b ) = a ⋅ ( k b ) a ⃗ ⋅ a ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ 2 ≥ 0 \vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2\ge 0 a ⋅ a = ∣ a ∣ 2 ≥ 0
Từ đó ta có các hằng đẳng thức
∣ a ⃗ + b ⃗ ∣ 2 = ∣ a ⃗ ∣ 2 + 2 a ⃗ ⋅ b ⃗ + ∣ b ⃗ ∣ 2 , ∣ a ⃗ − b ⃗ ∣ 2 = ∣ a ⃗ ∣ 2 − 2 a ⃗ ⋅ b ⃗ + ∣ b ⃗ ∣ 2 . |\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2,\qquad |\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2-2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2. ∣ a + b ∣ 2 = ∣ a ∣ 2 + 2 a ⋅ b + ∣ b ∣ 2 , ∣ a − b ∣ 2 = ∣ a ∣ 2 − 2 a ⋅ b + ∣ b ∣ 2 .
Ví dụ Độ dài của vectơ tổng
Cho ∣ a ⃗ ∣ = 2 |\vec{a}|=2 ∣ a ∣ = 2 ∣ b ⃗ ∣ = 3 |\vec{b}|=3 ∣ b ∣ = 3 a ⃗ ⋅ b ⃗ = 1 \vec{a}\cdot\vec{b}=1 a ⋅ b = 1 ∣ a ⃗ + b ⃗ ∣ |\vec{a}+\vec{b}| ∣ a + b ∣ ∣ a ⃗ − b ⃗ ∣ |\vec{a}-\vec{b}| ∣ a − b ∣
Lời giải.
∣ a ⃗ + b ⃗ ∣ 2 = 4 + 2 ⋅ 1 + 9 = 15 |\vec{a}+\vec{b}|^2=4+2\cdot 1+9=15 ∣ a + b ∣ 2 = 4 + 2 ⋅ 1 + 9 = 15 ∣ a ⃗ + b ⃗ ∣ = 15 |\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{15} ∣ a + b ∣ = 15 ∣ a ⃗ − b ⃗ ∣ 2 = 4 − 2 ⋅ 1 + 9 = 11 |\vec{a}-\vec{b}|^2=4-2\cdot 1+9=11 ∣ a − b ∣ 2 = 4 − 2 ⋅ 1 + 9 = 11 ∣ a ⃗ − b ⃗ ∣ = 11 |\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{11} ∣ a − b ∣ = 11
Tích vô hướng theo toạ độ
Hai hệ quả suy ra ngay:
a ⃗ ⊥ b ⃗ ⟺ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 \vec{a}\perp\vec{b}\iff x_1x_2+y_1y_2=0 a ⊥ b ⟺ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 0 ⃗ \vec{0} 0 cos ( a ⃗ , b ⃗ ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 x 1 2 + y 1 2 x 2 2 + y 2 2 \cos(\vec{a}, \vec{b})=\dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\,\sqrt{x_2^2+y_2^2}} cos ( a , b ) = x 1 2 + y 1 2 x 2 2 + y 2 2 x 1 x 2 + y 1 y 2
Ví dụ Tích vô hướng và góc
Với a ⃗ = ( 2 ; 3 ) \vec{a}=(2; 3) a = ( 2 ; 3 ) b ⃗ = ( 4 ; − 1 ) \vec{b}=(4; -1) b = ( 4 ; − 1 ) a ⃗ ⋅ b ⃗ \vec{a}\cdot\vec{b} a ⋅ b
Lời giải. a ⃗ ⋅ b ⃗ = 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ ( − 1 ) = 5 \vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot 4+3\cdot(-1)=5 a ⋅ b = 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ ( − 1 ) = 5 ∣ a ⃗ ∣ = 13 |\vec{a}|=\sqrt{13} ∣ a ∣ = 13 ∣ b ⃗ ∣ = 17 |\vec{b}|=\sqrt{17} ∣ b ∣ = 17 cos ( a ⃗ , b ⃗ ) = 5 13 17 = 5 221 ≈ 0,336. \cos(\vec{a}, \vec{b})=\frac{5}{\sqrt{13}\sqrt{17}}=\frac{5}{\sqrt{221}}\approx 0{,}336. cos ( a , b ) = 13 17 5 = 221 5 ≈ 0 , 336. 70,3 ∘ 70{,}3^\circ 70 , 3 ∘
Ví dụ Điều kiện vuông góc
Tìm m m m a ⃗ = ( 2 ; m ) \vec{a}=(2; m) a = ( 2 ; m ) b ⃗ = ( 3 ; − 1 ) \vec{b}=(3; -1) b = ( 3 ; − 1 )
Lời giải. a ⃗ ⋅ b ⃗ = 6 − m = 0 \vec{a}\cdot\vec{b}=6-m=0 a ⋅ b = 6 − m = 0 m = 6 m=6 m = 6
Các góc trong tam giác
Để tìm góc tại một đỉnh, hãy dùng hai vectơ xuất phát từ đỉnh đó.
A B C Tam giác A B C ABC A B C Ví dụ Các góc của tam giác
Tìm các góc của tam giác có A ( 1 ; 2 ) A(1; 2) A ( 1 ; 2 ) B ( 3 ; 1 ) B(3; 1) B ( 3 ; 1 ) C ( 2 ; 4 ) C(2; 4) C ( 2 ; 4 )
Lời giải. A B → = ( 2 ; − 1 ) \overrightarrow{AB}=(2; -1) A B = ( 2 ; − 1 ) A C → = ( 1 ; 2 ) \overrightarrow{AC}=(1; 2) A C = ( 1 ; 2 )
Tại A A A A B → ⋅ A C → = 2 − 2 = 0 \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2-2=0 A B ⋅ A C = 2 − 2 = 0 A ^ = 90 ∘ \widehat{A}=90^\circ A = 9 0 ∘
Tại B B B B A → = ( − 2 ; 1 ) \overrightarrow{BA}=(-2; 1) B A = ( − 2 ; 1 ) B C → = ( − 1 ; 3 ) \overrightarrow{BC}=(-1; 3) B C = ( − 1 ; 3 ) 2 + 3 = 5 2+3=5 2 + 3 = 5 ∣ B A → ∣ = 5 |\overrightarrow{BA}|=\sqrt5 ∣ B A ∣ = 5 ∣ B C → ∣ = 10 |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{10} ∣ B C ∣ = 10 cos B = 5 50 = 1 2 \cos B=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt2} cos B = 50 5 = 2 1 B ^ = 45 ∘ \widehat{B}=45^\circ B = 4 5 ∘
Tổng ba góc bằng 180 ∘ 180^\circ 18 0 ∘ C ^ = 45 ∘ \widehat{C}=45^\circ C = 4 5 ∘
Thuật ngữ
Thuật ngữ
Tiếng Việt English góc giữa hai vectơ angle between two vectors tích vô hướng dot product vuông góc perpendicular góc nhọn acute angle góc tù obtuse angle công (vật lí) work (physics) giao hoán commutative phân phối distributive
Tóm tắt
a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos ( a ⃗ , b ⃗ ) \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\vec{a}, \vec{b}) a ⋅ b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos ( a , b ) a ⃗ ⋅ a ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ 2 \vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2 a ⋅ a = ∣ a ∣ 2 Tích vô hướng có tính giao hoán, phân phối và ∣ a ⃗ ± b ⃗ ∣ 2 = ∣ a ⃗ ∣ 2 ± 2 a ⃗ ⋅ b ⃗ + ∣ b ⃗ ∣ 2 |\vec{a}\pm\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2\pm2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2 ∣ a ± b ∣ 2 = ∣ a ∣ 2 ± 2 a ⋅ b + ∣ b ∣ 2
Theo toạ độ, a ⃗ ⋅ b ⃗ = x 1 x 2 + y 1 y 2 \vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2 a ⋅ b = x 1 x 2 + y 1 y 2
a ⃗ ⊥ b ⃗ ⟺ a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0 \vec{a}\perp\vec{b}\iff\vec{a}\cdot\vec{b}=0 a ⊥ b ⟺ a ⋅ b = 0 cos \cos cos
Luyện tập
Luyện tập
Tìm a ⃗ ⋅ b ⃗ \vec{a}\cdot\vec{b} a ⋅ b ∣ a ⃗ ∣ = 5 |\vec{a}|=5 ∣ a ∣ = 5 ∣ b ⃗ ∣ = 2 |\vec{b}|=2 ∣ b ∣ = 2 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘
Tìm a ⃗ ⋅ b ⃗ \vec{a}\cdot\vec{b} a ⋅ b ∣ a ⃗ ∣ = 4 |\vec{a}|=4 ∣ a ∣ = 4 ∣ b ⃗ ∣ = 3 |\vec{b}|=3 ∣ b ∣ = 3 150 ∘ 150^\circ 15 0 ∘
Tính a ⃗ ⋅ b ⃗ \vec{a}\cdot\vec{b} a ⋅ b a ⃗ = ( 1 ; − 3 ) \vec{a}=(1; -3) a = ( 1 ; − 3 ) b ⃗ = ( 2 ; 5 ) \vec{b}=(2; 5) b = ( 2 ; 5 )
Tìm m m m a ⃗ = ( m ; 4 ) \vec{a}=(m; 4) a = ( m ; 4 ) b ⃗ = ( 2 ; − 1 ) \vec{b}=(2; -1) b = ( 2 ; − 1 )
Tìm góc giữa a ⃗ = ( 1 ; 2 ) \vec{a}=(1; 2) a = ( 1 ; 2 ) b ⃗ = ( 3 ; 1 ) \vec{b}=(3; 1) b = ( 3 ; 1 )
Tìm A ^ \widehat{A} A A ( − 1 ; 0 ) A(-1; 0) A ( − 1 ; 0 ) B ( 2 ; 0 ) B(2; 0) B ( 2 ; 0 ) C ( 2 ; 3 ) C(2; 3) C ( 2 ; 3 )
Cho ∣ a ⃗ ∣ = 2 |\vec{a}|=2 ∣ a ∣ = 2 ∣ b ⃗ ∣ = 3 |\vec{b}|=3 ∣ b ∣ = 3 a ⃗ ⋅ b ⃗ = − 3 \vec{a}\cdot\vec{b}=-3 a ⋅ b = − 3 ∣ a ⃗ + b ⃗ ∣ |\vec{a}+\vec{b}| ∣ a + b ∣ ∣ a ⃗ − b ⃗ ∣ |\vec{a}-\vec{b}| ∣ a − b ∣
Một lực 20 20 20 3 3 3 30 ∘ 30^\circ 3 0 ∘ 0,01 0{,}01 0 , 01
Thử thách. Tìm vectơ b ⃗ \vec{b} b a ⃗ = ( 3 ; 4 ) \vec{a}=(3; 4) a = ( 3 ; 4 ) ∣ b ⃗ ∣ = 10 |\vec{b}|=10 ∣ b ∣ = 10
Thử thách. Chứng minh rằng nếu ∣ a ⃗ ∣ = ∣ b ⃗ ∣ |\vec{a}|=|\vec{b}| ∣ a ∣ = ∣ b ∣ ( a ⃗ + b ⃗ ) ⊥ ( a ⃗ − b ⃗ ) (\vec{a}+\vec{b})\perp(\vec{a}-\vec{b}) ( a + b ) ⊥ ( a − b ) a ⃗ = ( 3 ; 4 ) \vec{a}=(3; 4) a = ( 3 ; 4 ) b ⃗ = ( 5 ; 0 ) \vec{b}=(5; 0) b = ( 5 ; 0 )
Xem lời giải
5 ⋅ 2 ⋅ cos 60 ∘ = 10 ⋅ 1 2 = 5 5\cdot 2\cdot\cos 60^\circ=10\cdot\frac12=5 5 ⋅ 2 ⋅ cos 6 0 ∘ = 10 ⋅ 2 1 = 5 4 ⋅ 3 ⋅ cos 150 ∘ = 12 ⋅ ( − 3 2 ) = − 6 3 4\cdot 3\cdot\cos 150^\circ=12\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-6\sqrt3 4 ⋅ 3 ⋅ cos 15 0 ∘ = 12 ⋅ ( − 2 3 ) = − 6 3 1 ⋅ 2 + ( − 3 ) ⋅ 5 = 2 − 15 = − 13 1\cdot 2+(-3)\cdot 5=2-15=-13 1 ⋅ 2 + ( − 3 ) ⋅ 5 = 2 − 15 = − 13 2 m − 4 = 0 2m-4=0 2 m − 4 = 0 m = 2 m=2 m = 2 a ⃗ ⋅ b ⃗ = 3 + 2 = 5 \vec{a}\cdot\vec{b}=3+2=5 a ⋅ b = 3 + 2 = 5 ∣ a ⃗ ∣ = 5 |\vec{a}|=\sqrt5 ∣ a ∣ = 5 ∣ b ⃗ ∣ = 10 |\vec{b}|=\sqrt{10} ∣ b ∣ = 10 cos = 5 50 = 1 2 \cos=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac1{\sqrt2} cos = 50 5 = 2 1 45 ∘ 45^\circ 4 5 ∘ A B → = ( 3 ; 0 ) \overrightarrow{AB}=(3; 0) A B = ( 3 ; 0 ) A C → = ( 3 ; 3 ) \overrightarrow{AC}=(3; 3) A C = ( 3 ; 3 ) 9 9 9 3 3 3 3 2 3\sqrt2 3 2 cos A = 9 9 2 = 1 2 \cos A=\frac{9}{9\sqrt2}=\frac1{\sqrt2} cos A = 9 2 9 = 2 1 A ^ = 45 ∘ \widehat{A}=45^\circ A = 4 5 ∘ ∣ a ⃗ + b ⃗ ∣ 2 = 4 − 6 + 9 = 7 |\vec{a}+\vec{b}|^2=4-6+9=7 ∣ a + b ∣ 2 = 4 − 6 + 9 = 7 7 \sqrt7 7 ∣ a ⃗ − b ⃗ ∣ 2 = 4 + 6 + 9 = 19 |\vec{a}-\vec{b}|^2=4+6+9=19 ∣ a − b ∣ 2 = 4 + 6 + 9 = 19 19 \sqrt{19} 19 A = 20 ⋅ 3 ⋅ cos 30 ∘ = 60 ⋅ 3 2 = 30 3 ≈ 51,96 A=20\cdot 3\cdot\cos 30^\circ=60\cdot\frac{\sqrt3}{2}=30\sqrt3\approx 51{,}96 A = 20 ⋅ 3 ⋅ cos 3 0 ∘ = 60 ⋅ 2 3 = 30 3 ≈ 51 , 96 Gọi b ⃗ = ( x ; y ) \vec{b}=(x; y) b = ( x ; y ) 3 x + 4 y = 0 3x+4y=0 3 x + 4 y = 0 b ⃗ = t ( 4 ; − 3 ) \vec{b}=t(4; -3) b = t ( 4 ; − 3 ) ∣ b ⃗ ∣ = 5 ∣ t ∣ = 10 |\vec{b}|=5|t|=10 ∣ b ∣ = 5∣ t ∣ = 10 t = ± 2 t=\pm2 t = ± 2 b ⃗ = ( 8 ; − 6 ) \vec{b}=(8; -6) b = ( 8 ; − 6 ) b ⃗ = ( − 8 ; 6 ) \vec{b}=(-8; 6) b = ( − 8 ; 6 )
( a ⃗ + b ⃗ ) ⋅ ( a ⃗ − b ⃗ ) = ∣ a ⃗ ∣ 2 − ∣ b ⃗ ∣ 2 = 0 (\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2=0 ( a + b ) ⋅ ( a − b ) = ∣ a ∣ 2 − ∣ b ∣ 2 = 0 a ⃗ + b ⃗ = ( 8 ; 4 ) \vec{a}+\vec{b}=(8; 4) a + b = ( 8 ; 4 ) a ⃗ − b ⃗ = ( − 2 ; 4 ) \vec{a}-\vec{b}=(-2; 4) a − b = ( − 2 ; 4 ) − 16 + 16 = 0 -16+16=0 − 16 + 16 = 0