Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Hai bạn được chọn ngẫu nhiên có khả năng đều là nữ không? Một lô hàng có vài sản phẩm lỗi thì an toàn đến đâu? Cơ hội trúng xổ số là bao nhiêu? Các câu hỏi này đều cùng một dạng: đếm kết quả thuận lợi, đếm mọi kết quả, rồi chia. Khó khăn nằm ở việc đếm, và đó là chỗ hoán vị và tổ hợp phát huy tác dụng.

Một chiến lược hiệu quả

1. Xác định phép thử và quyết định thứ tự có quan trọng không. Lấy các đối tượng "cùng lúc" nghĩa là thứ tự không quan trọng, nên dùng tổ hợp.
2. Đếm $n(\Omega)$ bằng các quy tắc đếm.
3. Đếm $n(A)$: chia trường hợp hoặc dùng quy tắc nhân. Nếu biến cố có chữ "ít nhất một", hãy cân nhắc biến cố đối.
4. Chia và rút gọn: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}$. Kiểm tra $0\le P\le 1$.

Bóng trong hộp

Chọn ban đại diện

Kiểm tra chất lượng

Xổ số và bộ bài

Thuật ngữ

Tóm tắt

• Chiến lược: xác định phép thử, đếm $n(\Omega)$, đếm $n(A)$, rồi chia.
• Lấy "cùng lúc" hay "không có thứ tự": dùng tổ hợp.
• "Ít nhất một": $P=1-P(\text{không có})$.
• Luôn kiểm tra $0\le P\le1$ và rút gọn.

Luyện tập

Xem lời giải

1. $\frac{C_6^2}{C_{10}^2}=\frac{15}{45}=\frac13$.
2. $\frac{6\cdot4}{45}=\frac{24}{45}=\frac8{15}$.
3. $\frac{C_{12}^3}{C_{20}^3}=\frac{220}{1140}=\frac{11}{57}$.
4. $1-\frac{11}{57}=\frac{46}{57}$.
5. $\frac{C_{13}^3}{C_{15}^3}=\frac{286}{455}=\frac{22}{35}$.
6. Tích là số lẻ chỉ khi cả hai số đều lẻ: $3\cdot3=9$ trong $36$ kết quả. $P(\text{chẵn})=1-\frac9{36}=\frac34$.
7. $\frac{C_{13}^3}{C_{52}^3}=\frac{286}{22\,100}=\frac{11}{850}$.
8. Có ba vé thuận lợi trong $C_{45}^6$ kết quả quay có thể: $\frac3{8\,145\,060}=\frac1{2\,715\,020}$.
9. $n(\Omega)=C_9^4=126$. Thuận lợi: $C_5^2C_4^2=10\cdot6=60$. $P=\frac{60}{126}=\frac{10}{21}$.
10. $n(\Omega)=6^3=216$. Tổng $9$: có $25$ bộ ba có thứ tự, nên $P=\frac{25}{216}$. Không có mặt sáu: $5^3=125$ bộ ba, nên $P(\text{ít nhất một mặt sáu})=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}$.