Tích của một vectơ với một số | Lớp 10

Một người đạp xe đi $3$ km về phía đông. Người thứ hai đi xa gấp đôi, cùng hướng đó. Người thứ ba đi cùng quãng đường với người thứ nhất nhưng quay về phía tây. Cả ba hành trình đều xuất phát từ cùng một độ dời $\vec{a}$ : người thứ hai là $2\vec{a}$ và người thứ ba là $-\vec{a}$ . Nhân một vectơ với một số làm vectơ dài ra, ngắn lại hoặc quay ngược chiều. Đó là phép toán cơ bản thứ hai trên vectơ, và nó cho ta cách diễn đạt gọn "các điểm này nằm trên một đường thẳng" hay "điểm này cách đầu mút một phần ba đoạn".

Tích của một số với một vectơ

Các vectơ

\vec{a}

2\vec{a}

và

-\frac{1}{2}\vec{a}

Đặc biệt $1\vec{a} = \vec{a}$ và $(-1)\vec{a} = -\vec{a}$ , là vectơ đối.

Tính chất

Với mọi vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ và mọi số $k$ , $l$ :

Tính chất	Công thức
Phân phối đối với tổng vectơ	$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$
Phân phối đối với tổng các số	$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$
Kết hợp	$k(l\vec{a}) = (kl)\vec{a}$
Phần tử đơn vị	$1\vec{a} = \vec{a}$ , $(-1)\vec{a} = -\vec{a}$

Đây là những quy tắc giống như khi làm đại số với chữ cái, nên bạn có thể khai triển và gộp các hạng tử như bình thường, xem vectơ như chữ cái. Ngoài ra $k\vec{a} = \vec{0}$ chỉ khi $k = 0$ hoặc $\vec{a} = \vec{0}$ .

Ví dụ Độ dài và rút gọn

a) Cho $|\vec{a}| = 5$ . Tìm $|3\vec{a}|$ và $|-2\vec{a}|$ , rồi so sánh hướng của chúng với $\vec{a}$ . b) Rút gọn $2(\vec{a} - 3\vec{b}) + 3(\vec{a} + \vec{b})$ .

Lời giải. a) $|3\vec{a}| = |3| \cdot 5 = 15$ , và $3 > 0$ nên $3\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$ . $|-2\vec{a}| = |-2| \cdot 5 = 10$ , và $-2 < 0$ nên $-2\vec{a}$ ngược hướng với $\vec{a}$ .

b) Khai triển từng ngoặc: $2\vec{a} - 6\vec{b} + 3\vec{a} + 3\vec{b}$ . Gộp các hạng tử đồng dạng: $(2 + 3)\vec{a} + (-6 + 3)\vec{b} = 5\vec{a} - 3\vec{b}$ .

Các vectơ cùng phương

Nếu $\vec{b} = k\vec{a}$ thì $\vec{b}$ là bản co giãn hoặc đảo chiều của $\vec{a}$ , nên hai vectơ cùng phương. Điều ngược lại cũng đúng.

Áp dụng cho hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ , ta có cách kiểm tra các điểm nằm trên một đường thẳng.

Ví dụ Các điểm có thẳng hàng không?

Cho hai vectơ không cùng phương $\vec{u}$ và $\vec{v}$ . Các điểm $A$ , $B$ , $C$ thoả mãn $\overrightarrow{AB} = \vec{u} + 2\vec{v}$ và $\overrightarrow{AC} = 3\vec{u} + m\vec{v}$ .

a) Với $m = 6$ , chứng minh $A$ , $B$ , $C$ thẳng hàng. b) Tìm tất cả các giá trị $m$ để chúng thẳng hàng.

Lời giải. a) Với $m = 6$ , $\overrightarrow{AC} = 3\vec{u} + 6\vec{v} = 3(\vec{u} + 2\vec{v}) = 3\overrightarrow{AB}$ . Vậy $\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB}$ và ba điểm thẳng hàng.

b) Các điểm thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ với một số $k$ nào đó, tức là $3\vec{u} + m\vec{v} = k\vec{u} + 2k\vec{v}$ . Vì $\vec{u}$ và $\vec{v}$ không cùng phương nên các hệ số phải bằng nhau: $k = 3$ và $m = 2k = 6$ . Vậy $m = 6$ là giá trị duy nhất.

Công thức trung điểm và trọng tâm

Ở bài trước ta đã gặp $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0}$ với $M$ là trung điểm của $AB$ . Chèn một điểm $O$ bất kì: $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OB}$ , nên $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OM}.$ Làm tương tự với trọng tâm ta được $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$ . Chia cho $2$ và $3$ :

Phân tích một vectơ theo hai hướng

Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương thì mọi vectơ $\vec{w}$ trong mặt phẳng đều viết được duy nhất dưới dạng $\vec{w} = x\vec{a} + y\vec{b}.$ Hãy hình dung việc đi $x$ bước theo hướng $\vec{a}$ rồi $y$ bước theo hướng $\vec{b}$ .

\vec{w} = 2\vec{a} + \vec{b}

Ví dụ Phân tích theo hai cạnh của tam giác

Trong tam giác $ABC$ đặt $\vec{b} = \overrightarrow{AB}$ và $\vec{c} = \overrightarrow{AC}$ . Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $G$ là trọng tâm. Biểu diễn $\overrightarrow{AM}$ , $\overrightarrow{AG}$ và $\overrightarrow{BG}$ theo $\vec{b}$ và $\vec{c}$ .

Lời giải.

Lấy $A$ làm điểm gốc trong công thức trung điểm: $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \dfrac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$ .
Công thức trọng tâm với $O = A$ : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \dfrac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c})$ .
Theo quy tắc ba điểm, $\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AG} = -\vec{b} + \dfrac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c}) = -\dfrac{2}{3}\vec{b} + \dfrac{1}{3}\vec{c}$ .

Để kiểm tra, $\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}$ , đúng với tính chất quen thuộc của trọng tâm.

Giải bài toán hình học bằng vectơ

Phương pháp luôn là:

Chọn hai vectơ không cùng phương làm cơ sở, thường là hai cạnh xuất phát từ một đỉnh.
Viết mọi vectơ trong bài dưới dạng $x\vec{a} + y\vec{b}$ , dùng quy tắc ba điểm, trung điểm và các tỉ số đã cho.
So sánh các hệ số, hoặc tìm hệ thức $\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ .

Hình bình hành

ABCD

với

M

trên

BC

và

N

trên

AC

Ví dụ Ba điểm trên một đường thẳng

$ABCD$ là hình bình hành, $M$ là trung điểm của $BC$ , và $N$ là điểm trên đường chéo $AC$ sao cho $\overrightarrow{AN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ . Chứng minh $D$ , $N$ , $M$ thẳng hàng.

Lời giải.

Đặt $\vec{b} = \overrightarrow{AB}$ và $\vec{d} = \overrightarrow{AD}$ . Hai vectơ này không cùng phương. Trong hình bình hành, $\overrightarrow{AC} = \vec{b} + \vec{d}$ và $\overrightarrow{DC} = \vec{b}$ .
$\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CM} = \vec{b} - \dfrac{1}{2}\vec{d}$ (vì $\overrightarrow{CM} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} = -\dfrac{1}{2}\vec{d}$ ).
$\overrightarrow{DN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AD} = \dfrac{2}{3}(\vec{b} + \vec{d}) - \vec{d} = \dfrac{2}{3}\vec{b} - \dfrac{1}{3}\vec{d}$ .
So sánh: $\overrightarrow{DN} = \dfrac{2}{3}\left(\vec{b} - \dfrac{1}{2}\vec{d}\right) = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{DM}$ . Vậy ba điểm thẳng hàng, và $N$ nằm cách $D$ hai phần ba đoạn $DM$ .

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
tích của một số với một vectơ	product of a number and a vector
số thực (vô hướng)	scalar
các vectơ cùng phương	collinear vectors
ba điểm thẳng hàng	three collinear points
trung điểm	midpoint
trọng tâm	centroid
phân tích một vectơ	decomposition of a vector
các vectơ không cùng phương	non-collinear vectors

Tóm tắt

$k\vec{a}$ có độ dài $|k||\vec{a}|$ , cùng hướng với $\vec{a}$ nếu $k > 0$ và ngược hướng nếu $k < 0$ .
Các quy tắc đại số quen thuộc vẫn đúng: $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$ , $(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$ , $k(l\vec{a}) = (kl)\vec{a}$ .
Với $\vec{a} \neq \vec{0}$ : $\vec{b}$ cùng phương với $\vec{a}$ khi và chỉ khi $\vec{b} = k\vec{a}$ . Ba điểm $A$ , $B$ , $C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$ .
Với mọi điểm $O$ : $\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$ cho trung điểm và $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$ cho trọng tâm.
Mọi vectơ đều viết được duy nhất dưới dạng $x\vec{a} + y\vec{b}$ khi $\vec{a}$ , $\vec{b}$ không cùng phương.

Luyện tập

Cho $|\vec{a}| = 6$ . Tìm $|2\vec{a}|$ , $\left|-\dfrac{1}{2}\vec{a}\right|$ và $|0\vec{a}|$ , và cho biết vectơ nào trong $2\vec{a}$ , $-\frac{1}{2}\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$ .
Rút gọn $3(\vec{a} - 2\vec{b}) - 2(\vec{a} - \vec{b})$ .
Trong tam giác $ABC$ , gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ , $AC$ . Chứng minh $\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ .
Các vectơ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ không cùng phương, $\overrightarrow{AB} = 2\vec{u} - \vec{v}$ và $\overrightarrow{AC} = -6\vec{u} + 3\vec{v}$ . Chứng minh $A$ , $B$ , $C$ thẳng hàng và tìm $k$ để $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ .
Cho $\overrightarrow{AB} = \vec{u} - 2\vec{v}$ và $\overrightarrow{AC} = 3\vec{u} + m\vec{v}$ , với $\vec{u}$ , $\vec{v}$ không cùng phương. Tìm $m$ để $A$ , $B$ , $C$ thẳng hàng.
$ABCD$ là hình bình hành và $O$ là điểm bất kì. Chứng minh $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$ .
Trong tam giác $ABC$ , điểm $D$ nằm trên $BC$ với $BD = \dfrac{1}{4}BC$ . Biểu diễn $\overrightarrow{AD}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ .
$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ , $\vec{b} = \overrightarrow{AB}$ và $\vec{c} = \overrightarrow{AC}$ . Biểu diễn $\overrightarrow{CG}$ theo $\vec{b}$ và $\vec{c}$ .
(Thử thách) Trong tam giác $ABC$ , $D$ nằm trên $BC$ sao cho $\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{DC}$ , $E$ là trung điểm của $AD$ , và $F$ là điểm trên $AC$ sao cho $\overrightarrow{AF} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}$ . Chứng minh $B$ , $E$ , $F$ thẳng hàng.
(Thử thách) Cho $\vec{a}$ , $\vec{b}$ không cùng phương, $\vec{u} = \vec{a} + 2\vec{b}$ , $\vec{v} = \vec{a} - \vec{b}$ và $\vec{w} = 5\vec{a} + \vec{b}$ . Tìm $x$ , $y$ để $\vec{w} = x\vec{u} + y\vec{v}$ .

Xem lời giải

$|2\vec{a}| = 2 \cdot 6 = 12$ , $\left|-\frac{1}{2}\vec{a}\right| = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ và $|0\vec{a}| = 0$ . Chỉ $2\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$ ( $2 > 0$ ); $-\frac{1}{2}\vec{a}$ ngược hướng.
$3\vec{a} - 6\vec{b} - 2\vec{a} + 2\vec{b} = \vec{a} - 4\vec{b}$ .
Lấy $A$ làm điểm gốc: $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ . Khi đó $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ .
$\overrightarrow{AC} = -6\vec{u} + 3\vec{v} = -3(2\vec{u} - \vec{v}) = -3\overrightarrow{AB}$ . Vậy $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ với $k = -3$ và ba điểm thẳng hàng ( $C$ nằm ở phía bên kia của $A$ so với $B$ ).
Cần $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ : $3\vec{u} + m\vec{v} = k\vec{u} - 2k\vec{v}$ . Suy ra $k = 3$ và $m = -2k = -6$ .
Gọi $I$ là tâm của hình bình hành, là trung điểm của cả $AC$ và $BD$ . Khi đó $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OI}$ và $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{OI}$ , nên hai tổng bằng nhau.
$\overrightarrow{BD} = \frac{1}{4}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})$ . Vậy $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$ .
$\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AG} = -\vec{c} + \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{3}\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{c}$ .
Đặt $\vec{b} = \overrightarrow{AB}$ , $\vec{c} = \overrightarrow{AC}$ . Vì $BD = \frac{2}{3}BC$ nên $\overrightarrow{AD} = \vec{b} + \frac{2}{3}(\vec{c} - \vec{b}) = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}$ , và $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$ . Khi đó $\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} - \vec{b} = -\frac{5}{6}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$ và $\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AF} - \vec{b} = -\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}$ . Ta có $\frac{6}{5}\overrightarrow{BE} = -\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c} = \overrightarrow{BF}$ , nên $B$ , $E$ , $F$ thẳng hàng.
$x\vec{u} + y\vec{v} = (x + y)\vec{a} + (2x - y)\vec{b}$ . So sánh với $5\vec{a} + \vec{b}$ (vì $\vec{a}$ , $\vec{b}$ không cùng phương): $x + y = 5$ và $2x - y = 1$ . Cộng hai phương trình được $3x = 6$ , nên $x = 2$ và $y = 3$ . Kiểm tra: $2(\vec{a} + 2\vec{b}) + 3(\vec{a} - \vec{b}) = 5\vec{a} + \vec{b}$ .