Bất phương trình bậc nhất hai ẩn | Lớp 10

Bạn có tối đa $300$ nghìn đồng để đi xem phim. Vé người lớn giá $60$ nghìn đồng, vé trẻ em giá $30$ nghìn đồng. Bạn có thể mua bao nhiêu vé mỗi loại? Có rất nhiều cách mua, và mỗi cách là một cặp số. Một bất phương trình hai ẩn mô tả cùng lúc tất cả các cặp đó, và hình vẽ trên mặt phẳng toạ độ cho ta thấy chúng rất rõ.

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?

Cặp số có thứ tự: $(1; 2)$ và $(2; 1)$ là hai cặp khác nhau.

Bất phương trình có vô số nghiệm nên ta không liệt kê được. Ta vẽ chúng ra.

Miền nghiệm

Xét $x+y\le 3$ . Phương trình $x+y=3$ là một đường thẳng. Đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Ở một nửa luôn có $x+y<3$ , ở nửa kia luôn có $x+y>3$ . Vì vậy nghiệm của $x+y\le 3$ là một nửa mặt phẳng cùng với đường thẳng (bờ).

Miền nghiệm của

x+y\le 3

Cách vẽ: phương pháp điểm kiểm tra

Miền nghiệm của

x+2y<4

Miền nghiệm của

3x-y\ge 3

Lập bất phương trình từ thực tế

Ví dụ Mua vé xem phim

Vé người lớn giá $60$ nghìn đồng, vé trẻ em giá $30$ nghìn đồng. Ta có tối đa $300$ nghìn đồng. Gọi $x$ là số vé người lớn, $y$ là số vé trẻ em. (a) Viết bất phương trình. (b) Có thể mua $3$ vé người lớn và $4$ vé trẻ em không? Còn $4$ vé người lớn và $3$ vé trẻ em?

Lời giải.

(a) Tổng tiền là $60x+30y$ và không vượt quá $300$ : $60x+30y\le 300$ . Chia hai vế cho $30$ được $2x+y\le 10$ . Ngoài ra $x\ge 0$ , $y\ge 0$ là các số nguyên.
(b) Với $(3; 4)$ : $2\cdot 3+4=10\le 10$ đúng, nên mua được (tốn đúng $300$ nghìn đồng).
Với $(4; 3)$ : $2\cdot 4+3=11\le 10$ sai, nên không mua được (cần $330$ nghìn đồng).

Số vé có thể mua

Nghiệm thực tế chỉ là các điểm của miền có toạ độ nguyên, vì không thể mua nửa tấm vé.

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
bất phương trình bậc nhất hai ẩn	linear inequality in two variables
nghiệm (cặp số)	solution (ordered pair)
đường thẳng biên (bờ)	boundary line
nửa mặt phẳng	half-plane
miền nghiệm	solution region
điểm kiểm tra	test point
nét liền	solid line
nét đứt	dashed line

Tóm tắt

Nghiệm của $ax+by\le c$ là cặp số $(x_0; y_0)$ làm cho bất phương trình đúng; có vô số nghiệm.
Đường thẳng $ax+by=c$ chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng; miền nghiệm là một trong hai nửa đó (kèm đường thẳng khi dấu là $\le$ hoặc $\ge$ ).
Vẽ nét liền cho $\le,\ge$ và nét đứt cho $<,>$ .
Thử một điểm không nằm trên đường thẳng (thường là gốc toạ độ) để biết phải tô phía nào.
Với bài toán thực tế, hãy chuyển giới hạn thành bất phương trình và chỉ giữ các điểm có nghĩa (số nguyên, không âm).

Luyện tập

Cặp nào trong $(2; -1)$ , $(0; 3)$ , $(6; 1)$ là nghiệm của $x-2y\ge 4$ ?
Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn? (a) $2x-y<1$ , (b) $x^2+y\ge 0$ , (c) $3x>5$ , (d) $x+y+z\le 1$ .
Với mỗi bất phương trình, đường biên vẽ nét liền hay nét đứt? (a) $y>2x-1$ , (b) $x+y\le 3$ , (c) $2x-3y\ge 6$ , (d) $x<-1$ .
Mô tả miền nghiệm của $2x-y\le 4$ : nêu hai điểm của đường biên, loại nét vẽ, điểm kiểm tra và phía cần tô.
Mô tả miền nghiệm của $x-y\ge 0$ . (Đường biên đi qua gốc toạ độ nên hãy chọn điểm kiểm tra khác.)
Điểm nào trong $A(1; 1)$ , $B(-2; 3)$ , $C(4; -1)$ thoả mãn $3x+2y>5$ ?
Một gói cước điện thoại tính $2000$ đồng mỗi phút gọi và $500$ đồng mỗi tin nhắn. Mai có tối đa $40000$ đồng. Gọi $x$ là số phút, $y$ là số tin nhắn. Viết bất phương trình, rồi cho biết Mai có thể dùng $15$ phút và $20$ tin nhắn không, còn $18$ phút và $10$ tin nhắn thì sao?
Với giá trị nào của $m$ thì cặp $(1; m)$ là nghiệm của $2x-y>3$ ?
Thử thách. Vé học sinh giá $20$ nghìn đồng, vé người lớn giá $50$ nghìn đồng. Một nhóm có tối đa $200$ nghìn đồng và phải mua ít nhất $2$ vé người lớn. Viết các bất phương trình và tìm tổng số người lớn nhất (học sinh và người lớn) mà nhóm có thể có.
Thử thách. Tìm một bất phương trình dạng $ax+by\le c$ có đường biên đi qua $(0; 2)$ và $(3; 0)$ và miền nghiệm chứa gốc toạ độ.

Xem lời giải

Tính $x-2y$ . $(2; -1)$ : $2+2=4\ge 4$ , đúng. $(0; 3)$ : $0-6=-6\ge 4$ , sai. $(6; 1)$ : $6-2=4\ge 4$ , đúng.
(a) Có. (b) Không, vì $x^2$ không bậc nhất. (c) Có, đó là dạng $ax+by>c$ với $a=3$ , $b=0$ . (d) Không, vì có ba ẩn.
(a) Nét đứt ( $>$ ). (b) Nét liền ( $\le$ ). (c) Nét liền ( $\ge$ ). (d) Nét đứt ( $<$ ); đường biên là đường thẳng đứng $x=-1$ .
Đường biên $2x-y=4$ đi qua $(2; 0)$ và $(0; -4)$ . Dấu là $\le$ nên vẽ nét liền. Thử $(0; 0)$ : $0\le 4$ đúng, nên tô phía chứa gốc toạ độ.
Đường biên $x-y=0$ (đường thẳng $y=x$ ), nét liền. Điểm kiểm tra $(1; 0)$ : $1-0=1\ge 0$ đúng. Tô phía chứa $(1; 0)$ , tức nửa mặt phẳng nằm dưới đường thẳng $y=x$ .
$A$ : $3+2=5>5$ sai. $B$ : $-6+6=0>5$ sai. $C$ : $12-2=10>5$ đúng. Chỉ có $C$ .
Số tiền là $2000x+500y\le 40000$ ; chia cho $500$ : $4x+y\le 80$ . Với $(15; 20)$ : $60+20=80\le 80$ đúng, nên dùng được. Với $(18; 10)$ : $72+10=82\le 80$ sai, nên không dùng được.
Thay vào: $2\cdot 1-m>3$ , suy ra $-m>1$ , tức $m<-1$ .
Gọi $x$ là số vé học sinh, $y$ là số vé người lớn. Khi đó $20x+50y\le 200$ , tức $2x+5y\le 20$ , với $y\ge 2$ và $x\ge 0$ là các số nguyên. Với $y=2$ : $2x\le 10$ nên $x\le 5$ , tổng tối đa là $7$ . Với $y=3$ : $2x\le 5$ nên $x\le 2$ , tổng là $5$ . Với $y=4$ : $x=0$ , tổng là $4$ . Tổng lớn nhất là $7$ người ( $5$ học sinh, $2$ người lớn).
Đường thẳng qua $(0; 2)$ và $(3; 0)$ là $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}=1$ , tức $2x+3y=6$ . Tại gốc toạ độ $2\cdot 0+3\cdot 0=0\le 6$ , nên gốc nằm về phía " $\le$ ". Bất phương trình là $2x+3y\le 6$ .