Phương trình đường thẳng

Máy định vị GPS cho bạn một điểm xuất phát và một hướng đi. Hai thứ đó đủ để xác định một con đường thẳng, không cần thêm thông tin gì. Đó cũng chính là cách ta mô tả đường thẳng trong toạ độ: một điểm thuộc đường thẳng và một hướng. Bài này biến ý tưởng ấy thành phương trình dưới ba dạng hữu ích.

Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến

Vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a; b)\neq\vec{0}$ của đường thẳng là vectơ song song với đường thẳng. Vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A; B)\neq\vec{0}$ là vectơ vuông góc với đường thẳng. Vì $\vec{u}\perp\vec{n}$, từ $\vec{u}=(a; b)$ ta lấy $\vec{n}=(-b; a)$ (hoặc $(b; -a)$). Mọi bội khác $0$ của $\vec{u}$ (hoặc $\vec{n}$) cũng dùng được.

Ba dạng phương trình

Trong dạng tổng quát, cặp hệ số $(A; B)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Nếu $B\neq 0$ thì hệ số góc là $k=-\frac{A}{B}$.

Đường thẳng đi qua hai điểm

Với $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$, lấy $\overrightarrow{AB}$ làm vectơ chỉ phương, suy ra vectơ pháp tuyến, rồi viết dạng tổng quát.

Chuyển đổi và vẽ đường thẳng

Đường thẳng song song và vuông góc

Đường thẳng song song với $Ax+By+C=0$ có dạng $Ax+By+C'=0$ (cùng $\vec{n}$). Đường thẳng vuông góc với nó nhận $\vec{n}'=\vec{u}=(B; -A)$ làm vectơ pháp tuyến, tức có dạng $Bx-Ay+C''=0$.

Thuật ngữ

Tóm tắt

• Đường thẳng được xác định bởi một điểm và vectơ chỉ phương $\vec{u}$ hoặc vectơ pháp tuyến $\vec{n}$.
• Tham số: $x=x_0+at$, $y=y_0+bt$. Tổng quát: $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$ với $\vec{n}=(A; B)$.
• Dạng hệ số góc $y=kx+m$ với $k=-\frac{A}{B}$ khi $Ax+By+C=0$ và $B\neq0$.
• Hai đường thẳng song song có chung $\vec{n}$; vuông góc thì đổi $(A; B)\to(B; -A)$.

Luyện tập

Xem lời giải

1. $(x-2)-3(y-1)=0$, suy ra $x-3y+1=0$.
2. $\begin{cases}x=1+2t\\ y=1+t\end{cases}$. $\vec{n}=(1; -2)$: $(x-1)-2(y-1)=0$, suy ra $x-2y+1=0$.
3. $\overrightarrow{AB}=(4; -4)$, nên $\vec{u}=(1; -1)$ và $\vec{n}=(1; 1)$. $(x+1)+(y-2)=0$, suy ra $x+y-1=0$.
4. $y=2x+4$: hệ số góc $2$. Với $y=0$ ta có $x=-2$; với $x=0$ ta có $y=4$. Các giao điểm là $(-2; 0)$ và $(0; 4)$.
5. $\vec{u}=(-1; 2)$, $\vec{n}=(2; 1)$, điểm $(2; 3)$: $2(x-2)+(y-3)=0$, suy ra $2x+y-7=0$.
6. $2x-y+C=0$ đi qua $P$: $2+2+C=0$, nên $C=-4$. Đường thẳng: $2x-y-4=0$.
7. $\vec{n}'=(1; 2)$: $(x-1)+2(y+2)=0$, suy ra $x+2y+3=0$. Kiểm tra: $1-4+3=0$ ✓.
8. $\frac{x}{4}+\frac{y}{-3}=1$; nhân hai vế với $12$: $3x-4y=12$, suy ra $3x-4y-12=0$.
9. $M(3; 2)$, $\vec{n}=\overrightarrow{AB}=(4; 2)$: $4(x-3)+2(y-2)=0$, suy ra $2x+y-8=0$. Kiểm tra $M$: $6+2-8=0$ ✓.
10. $M$ là trung điểm: $\frac{a+0}{2}=2$ và $\frac{0+b}{2}=3$, nên $a=4$, $b=6$. Đường thẳng là $\frac{x}{4}+\frac{y}{6}=1$, tức $3x+2y-12=0$.