Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn | Lớp 10

Một câu lạc bộ ở trường muốn bán được nhiều nhất, nhưng thời gian, nguyên liệu và số quầy đều có hạn. Mỗi giới hạn là một bất phương trình, và tất cả các giới hạn phải được thoả mãn cùng một lúc. Chúng tạo thành một hệ. Trong bài này ta vẽ ra những gì hệ cho phép, rồi chọn phương án tốt nhất.

Hệ bất phương trình và miền nghiệm

Mỗi bất phương trình cho một nửa mặt phẳng (xem bài Bất phương trình bậc nhất hai ẩn). Một cặp số là nghiệm của hệ chỉ khi nó nằm trong mọi nửa mặt phẳng đó, nên:

miền nghiệm của hệ là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Miền nghiệm thường là một đa giác. Các góc của nó gọi là đỉnh; mỗi đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng biên.

Ví dụ Vẽ miền nghiệm và kiểm tra điểm

Cho hệ $\begin{cases} x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 4\\ x\le 3 \end{cases}$ (a) Biểu diễn miền nghiệm và tìm các đỉnh. (b) Các cặp $(1; 2)$ , $(3; 2)$ , $(-1; 1)$ có là nghiệm không?

Lời giải.

(a) $x\ge 0$ là nửa mặt phẳng bên phải trục tung, $y\ge 0$ là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành, $x+y\le 4$ là nửa mặt phẳng phía dưới đường thẳng $x+y=4$ (thử điểm $O$ ), còn $x\le 3$ là nửa mặt phẳng bên trái đường thẳng $x=3$ . Miền nghiệm là phần chung của cả bốn nửa mặt phẳng.
Các đỉnh: $(0; 0)$ (hai trục toạ độ); $(3; 0)$ ( $y=0$ và $x=3$ ); $(3; 1)$ ( $x=3$ và $x+y=4$ cho $y=1$ ); $(0; 4)$ ( $x=0$ và $x+y=4$ ).
(b) $(1; 2)$ : $1\ge 0$ , $2\ge 0$ , $1+2=3\le 4$ , $1\le 3$ đều đúng, nên là nghiệm. $(3; 2)$ : $3+2=5\le 4$ sai, nên không là nghiệm. $(-1; 1)$ : $-1\ge 0$ sai, nên không là nghiệm.

Miền nghiệm của hệ

Tối ưu trên miền đa giác

Giả sử ta cần tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của $F=ax+by$ trên một miền đa giác. Với mỗi số $k$ , các điểm có $F=k$ nằm trên một đường thẳng, và các đường thẳng này song song với nhau. Khi ta trượt đường thẳng qua miền đa giác, điểm cuối cùng nó còn chạm vào đa giác là một đỉnh.

Vì vậy ta chỉ cần: (1) tìm các đỉnh, (2) tính $F$ tại từng đỉnh, (3) so sánh.

Ví dụ Nên sản xuất gì

Một xưởng làm vòng tay ( $x$ chiếc mỗi ngày) và dây chuyền ( $y$ chiếc mỗi ngày). Mỗi vòng tay cần $2$ đơn vị hạt cườm, mỗi dây chuyền cần $1$ đơn vị, và mỗi ngày có $10$ đơn vị hạt cườm. Mỗi vòng tay cần $1$ giờ công, mỗi dây chuyền cần $2$ giờ công, và mỗi ngày có $8$ giờ công. Lãi $30$ nghìn đồng cho mỗi vòng tay và $40$ nghìn đồng cho mỗi dây chuyền. (a) Lập hệ bất phương trình. (b) Tìm các đỉnh của miền nghiệm. (c) Tìm kế hoạch trong ngày cho lãi lớn nhất.

Lời giải.

(a) Hạt cườm: $2x+y\le 10$ . Giờ công: $x+2y\le 8$ . Ngoài ra $x\ge 0$ , $y\ge 0$ . Tiền lãi là $F=30x+40y$ (nghìn đồng).
(b) Miền nghiệm giới hạn bởi hai trục và hai đường thẳng. Các đỉnh:
- $(0; 0)$ là gốc toạ độ;
- $(5; 0)$ : thay $y=0$ vào $2x+y=10$ ;
- $(0; 4)$ : thay $x=0$ vào $x+2y=8$ ;
- giao của $2x+y=10$ và $x+2y=8$ : từ phương trình đầu $y=10-2x$ ; thế vào, $x+20-4x=8$ nên $x=4$ , $y=2$ . Ta được $(4; 2)$ .
(c) Tính $F$ : $F(0;0)=0$ , $F(5;0)=150$ , $F(0;4)=160$ , $F(4;2)=120+80=200$ .
Giá trị lớn nhất là $200$ , đạt tại $(4; 2)$ : mỗi ngày làm $4$ vòng tay và $2$ dây chuyền, lãi $200$ nghìn đồng.

Miền nghiệm của bài toán sản xuất

Ví dụ Khẩu phần ăn rẻ nhất

Một bữa ăn dùng $x$ suất món A và $y$ suất món B. Bữa ăn cần ít nhất $6$ đơn vị chất đạm: $2x+y\ge 6$ , và ít nhất $6$ đơn vị chất xơ: $x+2y\ge 6$ . Mỗi món dùng tối đa $5$ suất: $x\le 5$ , $y\le 5$ . Một suất món A giá $3$ nghìn đồng, một suất món B giá $4$ nghìn đồng. Tìm khẩu phần có chi phí thấp nhất.

Lời giải.

Chi phí: $F=3x+4y$ . Miền nghiệm giới hạn bởi bốn đường thẳng $2x+y=6$ , $x+2y=6$ , $x=5$ , $y=5$ (các điều kiện $x,y\ge 0$ ở đây tự thoả mãn).
Các đỉnh:
- $2x+y=6$ và $x+2y=6$ : trừ vế theo vế được $x-y=0$ nên $x=y=2$ . Đỉnh $(2; 2)$ .
- $2x+y=6$ và $y=5$ : $x=0{,}5$ . Đỉnh $(0{,}5; 5)$ .
- $x+2y=6$ và $x=5$ : $y=0{,}5$ . Đỉnh $(5; 0{,}5)$ .
- $x=5$ và $y=5$ : đỉnh $(5; 5)$ .
Chi phí: $F(2;2)=14$ , $F(0{,}5;5)=1{,}5+20=21{,}5$ , $F(5;0{,}5)=15+2=17$ , $F(5;5)=35$ .
Chi phí nhỏ nhất là $14$ nghìn đồng, đạt tại $(2; 2)$ : mỗi món dùng hai suất.

Miền nghiệm của bài toán khẩu phần

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
hệ bất phương trình	system of inequalities
nghiệm của hệ	solution of a system
miền nghiệm	solution region
giao của các nửa mặt phẳng	intersection of half-planes
miền đa giác	polygon region
đỉnh	vertex
biểu thức cần tối ưu	objective (to maximise)
giá trị lớn nhất / nhỏ nhất	maximum / minimum

Tóm tắt

Nghiệm của hệ thoả mãn mọi bất phương trình; miền nghiệm là giao của các nửa mặt phẳng.
Để kiểm tra một cặp số, thay vào từng bất phương trình; chỉ cần một bất phương trình sai là loại.
Các đỉnh của miền là giao điểm của từng cặp đường thẳng biên mà thoả mãn mọi bất phương trình còn lại.
Trên một đa giác bị chặn, $ax+by$ đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại các đỉnh: tính tại từng đỉnh rồi so sánh.
Với bài toán thực tế, thêm các điều kiện tự nhiên ( $x\ge 0$ , $y\ge 0$ ) và đọc đáp số theo ngữ cảnh.

Luyện tập

Cặp nào trong $(2; 1)$ , $(0; 0)$ , $(5; 1)$ là nghiệm của hệ $x+y\ge 2,\ x-y\le 3$ ?
Cặp nào trong $(1; 1)$ , $(2; 0)$ , $(0; 2)$ là nghiệm của hệ $2x+y<4,\ x-y>-1$ ?
Mô tả miền nghiệm của hệ $x\ge 0,\ y\ge 0,\ x+y\le 3$ : gọi tên hình, nêu các đỉnh và tìm giá trị lớn nhất của $2x+y$ trên miền đó.
Miền nghiệm của hệ $1\le x\le 4,\ 0\le y\le 3$ là một hình chữ nhật. Nêu các đỉnh và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $2x+y$ trên miền đó.
Tìm các đỉnh của miền nghiệm của hệ $x\ge 0,\ y\ge 0,\ x+y\le 6,\ x+3y\le 12$ và giá trị lớn nhất của $5x+4y$ trên miền đó.
Hệ $x+y\le 1,\ x+y\ge 3$ có nghiệm không? Giải thích.
Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x; y)$ thoả mãn $x\ge 0,\ y\ge 0,\ x+y\le 4$ ?
Một câu lạc bộ bán $x$ bánh mì kẹp và $y$ đồ uống mỗi ngày. Việc chuẩn bị tốn tổng cộng tối đa $30$ đơn vị thời gian ( $x+y\le 30$ ), và chuẩn bị được nhiều nhất $20$ bánh mì kẹp và nhiều nhất $20$ đồ uống. Lãi $4$ nghìn đồng cho mỗi bánh và $3$ nghìn đồng cho mỗi đồ uống. Tìm các đỉnh của miền nghiệm và phương án cho lãi lớn nhất.
Thử thách. Viết một hệ bất phương trình có miền nghiệm là tam giác với các đỉnh $(0; 0)$ , $(4; 0)$ , $(0; 2)$ .
Thử thách. Trên miền nghiệm của bài 5, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $F=x-y$ .

Xem lời giải

$(2; 1)$ : $3\ge 2$ và $1\le 3$ đều đúng: là nghiệm. $(0; 0)$ : $0\ge 2$ sai: không là nghiệm. $(5; 1)$ : $6\ge 2$ đúng nhưng $4\le 3$ sai: không là nghiệm.
$(1; 1)$ : $3<4$ và $0>-1$ đều đúng: là nghiệm. $(2; 0)$ : $4<4$ sai. $(0; 2)$ : $2<4$ đúng nhưng $-2>-1$ sai. Chỉ có $(1; 1)$ .
Đó là tam giác có các đỉnh $(0; 0)$ , $(3; 0)$ , $(0; 3)$ . Giá trị của $2x+y$ : $0$ , $6$ , $3$ . Giá trị lớn nhất là $6$ , đạt tại $(3; 0)$ .
Các đỉnh là $(1; 0)$ , $(4; 0)$ , $(4; 3)$ , $(1; 3)$ . Giá trị của $2x+y$ : $2$ , $8$ , $11$ , $5$ . Lớn nhất là $11$ tại $(4; 3)$ , nhỏ nhất là $2$ tại $(1; 0)$ .
Các đỉnh: $(0; 0)$ ; $(6; 0)$ ; $(0; 4)$ (từ $x+3y=12$ ); và giao của $x+y=6$ với $x+3y=12$ : trừ vế theo vế, $2y=6$ , $y=3$ , $x=3$ , được $(3; 3)$ . Giá trị của $5x+4y$ : $0$ , $30$ , $16$ , $27$ . Lớn nhất là $30$ tại $(6; 0)$ .
Không. Một cặp nghiệm phải có $x+y\le 1$ và $x+y\ge 3$ , tức $3\le x+y\le 1$ , điều này vô lí. Hai nửa mặt phẳng không có phần chung; miền nghiệm rỗng.
Đếm theo giá trị của $x$ : $x=0$ cho $y=0,\dots,4$ ( $5$ cặp); $x=1$ : $4$ cặp; $x=2$ : $3$ cặp; $x=3$ : $2$ cặp; $x=4$ : $1$ cặp. Tổng cộng $5+4+3+2+1=15$ cặp.
Hệ là $x\ge 0,\ y\ge 0,\ x+y\le 30,\ x\le 20,\ y\le 20$ . Các đỉnh: $(0; 0)$ , $(20; 0)$ , $(20; 10)$ (thay $x=20$ vào $x+y=30$ ), $(10; 20)$ (thay $y=20$ vào $x+y=30$ ), $(0; 20)$ . Lãi $F=4x+3y$ : $0$ , $80$ , $110$ , $100$ , $60$ . Lãi lớn nhất là $110$ nghìn đồng, với $20$ bánh mì kẹp và $10$ đồ uống.
Tam giác nằm trong góc phần tư thứ nhất: $x\ge 0$ , $y\ge 0$ . Cạnh nối $(4; 0)$ và $(0; 2)$ nằm trên đường thẳng $x+2y=4$ , và gốc toạ độ thoả mãn $x+2y\le 4$ . Vậy hệ là $x\ge 0,\ y\ge 0,\ x+2y\le 4$ . (Kiểm tra: $(4; 0)$ và $(0; 2)$ đều cho $4\le 4$ .)
Các đỉnh là $(0; 0)$ , $(6; 0)$ , $(3; 3)$ , $(0; 4)$ và $F=x-y$ nhận các giá trị $0$ , $6$ , $0$ , $-4$ . Giá trị lớn nhất là $6$ tại $(6; 0)$ , giá trị nhỏ nhất là $-4$ tại $(0; 4)$ .