Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ | Lớp 10

Đường tròn gồm mọi điểm cách tâm một khoảng bằng nhau. Nếu bạn biết công thức khoảng cách thì bạn đã biết phương trình đường tròn: đó chính là công thức khoảng cách được viết thành một quy tắc. Bài này biến hình ảnh "mọi điểm cách $I$ một khoảng $R$ " thành đại số.

Phương trình đường tròn

Khai triển ta được dạng tổng quát $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $c=a^2+b^2-R^2$ . Ngược lại, một phương trình dạng này là đường tròn khi và chỉ khi $R^2=a^2+b^2-c>0$ ; khi đó tâm là $(a; b)$ và bán kính là $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$ .

Tìm đường tròn

Tiếp tuyến

Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi nó chỉ có đúng một điểm chung với đường tròn, và khi đó nó vuông góc với bán kính tại điểm đó. Vậy tiếp tuyến tại $M_0$ nhận $\overrightarrow{IM_0}$ làm vectơ pháp tuyến.

Tiếp tuyến của đường tròn tại

M

Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn $(I, R)$ khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đến nó bằng $R$ : $d(I, \Delta)=R$ . Nếu $d<R$ thì nó cắt đường tròn tại hai điểm; nếu $d>R$ thì không có điểm chung.

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
đường tròn	circle
tâm	centre
bán kính	radius
đường kính	diameter
tiếp tuyến	tangent line
tiếp điểm	point of tangency
phương trình tổng quát của đường tròn	general equation of a circle
nằm trong / nằm ngoài	inside / outside

Tóm tắt

Đường tròn $(I(a; b), R)$ : $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ .
Dạng tổng quát $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ là đường tròn khi và chỉ khi $R^2=a^2+b^2-c>0$ .
Tiếp tuyến tại $M_0$ nhận $\overrightarrow{IM_0}$ làm vectơ pháp tuyến. Đường thẳng tiếp xúc khi và chỉ khi $d(I, \Delta)=R$ .
Điểm $P$ nằm trong, trên hay ngoài đường tròn tuỳ theo $IP^2<R^2$ , $=R^2$ , $>R^2$ .

Luyện tập

Viết phương trình đường tròn tâm $(-2; 3)$ bán kính $4$ .
Tìm tâm và bán kính của $x^2+y^2-4x+6y-3=0$ .
$x^2+y^2-2x+4y+6=0$ có phải là đường tròn không?
Viết phương trình đường tròn tâm $I(2; -1)$ đi qua $A(5; 3)$ .
Viết phương trình đường tròn đường kính $AB$ với $A(-1; 3)$ và $B(3; -1)$ .
Viết phương trình đường tròn đi qua $O(0; 0)$ , $A(6; 0)$ và $B(0; 8)$ .
Viết phương trình tiếp tuyến của $x^2+y^2=25$ tại $M(3; 4)$ .
Với giá trị nào của $m$ thì $3x+4y+m=0$ tiếp xúc với $x^2+y^2=9$ ?
Thử thách. Tìm các điểm chung của $x^2+y^2-4x=0$ và đường thẳng $x+y-4=0$ .
Thử thách. Viết phương trình các tiếp tuyến của $x^2+y^2=4$ đi qua $P(4; 0)$ .

Xem lời giải

$(x+2)^2+(y-3)^2=16$ .
$a=2$ , $b=-3$ , $c=-3$ . $R^2=4+9+3=16$ , nên tâm là $(2; -3)$ và $R=4$ .
$a=1$ , $b=-2$ , $c=6$ : $R^2=1+4-6=-1<0$ . Không phải đường tròn.
$R^2=IA^2=9+16=25$ . $(x-2)^2+(y+1)^2=25$ .
Tâm là $(1; 1)$ và $AB^2=16+16=32$ , nên $R^2=\frac{32}{4}=8$ . $(x-1)^2+(y-1)^2=8$ .
$c=0$ ; $A$ : $36-12a=0$ , nên $a=3$ ; $B$ : $64-16b=0$ , nên $b=4$ . $R^2=9+16=25$ . $(x-3)^2+(y-4)^2=25$ .
$\overrightarrow{OM}=(3; 4)$ : $3(x-3)+4(y-4)=0$ , suy ra $3x+4y-25=0$ .
$\frac{|m|}{5}=3$ , nên $m=\pm15$ .
Thế $y=4-x$ : $x^2+(4-x)^2-4x=0$ , suy ra $2x^2-12x+16=0$ , $x^2-6x+8=0$ , $x=2$ hoặc $x=4$ . Các điểm là $(2; 2)$ và $(4; 0)$ .
Đường thẳng đi qua $P$ : $kx-y-4k=0$ . Điều kiện tiếp xúc: $\frac{|4k|}{\sqrt{k^2+1}}=2$ , suy ra $16k^2=4k^2+4$ , $k^2=\frac13$ , $k=\pm\frac1{\sqrt3}$ . Các tiếp tuyến là $x-\sqrt3\,y-4=0$ và $x+\sqrt3\,y-4=0$ .