Ôn tập: hình học không gian

Hình học không gian lớp 11 vẫn có mặt trong đề thi tốt nghiệp. Ở Phần I (trắc nghiệm nhiều lựa chọn), thường có một đến hai câu hỏi về quan hệ vuông góc, góc hoặc thể tích. Ở Phần II hoặc Phần III, đề thường có một câu về khoảng cách, góc nhị diện hoặc thể tích trong tình huống thực tế. Tổng cộng chủ đề này thường chiếm khoảng $0{,}5$ đến $1$ điểm.

Bài ôn này đi qua bốn mảng: quan hệ vuông góc, góc, khoảng cách và thể tích. Mọi ví dụ được viết đúng như một câu trong đề thi. Hầu hết đều dùng chung một hình quen thuộc: hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy.

Hình chóp

S.ABCD

có

SA\perp(ABCD)

, đáy là hình vuông tâm

O

Quan hệ song song và vuông góc

Định lí Các dấu hiệu cần nhớ

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: nếu $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(P)$ thì $d\perp(P)$ . Khi đó $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ .
Hai mặt phẳng vuông góc: nếu $(Q)$ chứa một đường thẳng vuông góc với $(P)$ thì $(Q)\perp(P)$ .
Định lí ba đường vuông góc: cho $a$ nằm trong $(P)$ và $b$ không vuông góc với $(P)$ , có hình chiếu vuông góc trên $(P)$ là $b'$ . Khi đó $a\perp b\iff a\perp b'$ .
Song song: nếu $d$ song song với một đường thẳng nằm trong $(P)$ và $d$ không nằm trong $(P)$ thì $d\parallel(P)$ .

Với hình chóp có $SA\perp(ABCD)$ và đáy là hình vuông, ta luôn có hai "cặp vuông góc" sau. Hãy nhớ cách suy ra chứ không học thuộc kết quả:

$BC\perp AB,\ BC\perp SA\ \Rightarrow\ BC\perp(SAB);\qquad BD\perp AC,\ BD\perp SA\ \Rightarrow\ BD\perp(SAC).$

Câu hỏi trắc nghiệm thường đưa ra bốn quan hệ và hỏi quan hệ nào đúng. Cách làm chắc chắn là tìm cho đường thẳng đó hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng mà nó vuông góc.

Ví dụ Trắc nghiệm: chọn quan hệ vuông góc đúng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông và $SA\perp(ABCD)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $BD\perp(SAB)$ .

B. $BC\perp(SAB)$ .

C. $AC\perp(SBD)$ .

D. $CD\perp(SBC)$ .

Lời giải. Ta kiểm tra từng đường thẳng xem có vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng đó không.

$BC\perp AB\ (\text{đáy là hình vuông}),\quad BC\perp SA\ (SA\perp(ABCD))\ \Rightarrow\ BC\perp(SAB).$

Phương án A sai vì $BD$ không vuông góc với $AB$ (góc giữa chúng là $45^\circ$ ). Phương án C sai vì $AC$ không vuông góc với $SO$ . Phương án D sai vì $CD\parallel AB$ , mà $AB$ không vuông góc với $SB$ (tam giác $SAB$ vuông tại $A$ ), nên $CD$ không vuông góc với $SB$ .

Vậy chọn B.

Góc trong không gian

Để tính góc, ta đưa về một tam giác vuông rồi dùng $\tan$ , $\sin$ hoặc $\cos$ . Trong đề thi, câu Đúng/Sai về góc thường hỏi cả việc xác định góc và việc tính góc.

Ví dụ Đúng/Sai: góc với mặt phẳng và góc nhị diện

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , tâm $O$ , $SA\perp(ABCD)$ và $SA=a\sqrt2$ .

a) Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$ .

b) Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^\circ$ .

c) Số đo của góc nhị diện $[S, BD, A]$ bằng $60^\circ$ .

d) Sin của góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(SAD)$ bằng $\dfrac{\sqrt3}{3}$ .

Lời giải. Ta xét từng ý, mỗi ý quy về một tam giác vuông.

a) Đúng. $SA\perp(ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên đáy.

b) Đúng. Đường chéo hình vuông là $AC=a\sqrt2$ , nên trong tam giác $SAC$ vuông tại $A$ :

$\tan\widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt2}{a\sqrt2}=1\ \Rightarrow\ \widehat{SCA}=45^\circ.$

c) Sai. Vì $BD\perp(SAC)$ nên $BD\perp SO$ và $BD\perp AO$ ; góc nhị diện là $\widehat{SOA}$ . Với $AO=\dfrac{a\sqrt2}{2}$ :

$\tan\widehat{SOA}=\frac{SA}{AO}=\frac{a\sqrt2}{\frac{a\sqrt2}{2}}=2\ \Rightarrow\ \widehat{SOA}\approx63{,}4^\circ.$

d) Đúng. $AB\perp AD$ và $AB\perp SA$ nên $AB\perp(SAD)$ ; hình chiếu của $SB$ trên $(SAD)$ là $SA$ , góc cần tìm là $\widehat{BSA}$ . Ta có $SB=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt3$ :

$\sin\widehat{BSA}=\frac{AB}{SB}=\frac{a}{a\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}.$

Vậy đáp án là a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Khoảng cách

Với đáy là hình vuông hoặc hình chữ nhật, chân $K$ trùng $B$ vì $AB\perp BC$ . Kĩ thuật đổi điểm giúp đưa khoảng cách từ một điểm "khó" ( $D$ , $C$ , trung điểm...) về khoảng cách từ $A$ .

Ví dụ Trả lời ngắn: khoảng cách đến một mặt bên

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $3$ , $SA\perp(ABCD)$ và $SA=4$ . Tính khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(SBC)$ .

Lời giải. Vì $AD\parallel BC$ nên $AD\parallel(SBC)$ , do đó $d(D, (SBC))=d(A, (SBC))$ . Kẻ $AH\perp SB$ ; vì $BC\perp(SAB)$ nên $BC\perp AH$ , suy ra $AH\perp(SBC)$ :

$\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{3^2}=\frac{9+16}{144}=\frac{25}{144}\ \Rightarrow\ AH=\frac{12}{5}=2{,}4.$

Vậy $d(D, (SBC))=2{,}4$ . Trên phiếu trả lời ta ghi $2{,}4$ .

Nhìn lại. Theo cùng lí do, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $AD$ và $SB$ cũng bằng $2{,}4$ .

Thể tích khối chóp và khối lăng trụ

Trong khối chóp đều, chân đường cao là tâm của đáy. Vì vậy chiều cao thường tính bằng định lí Pythagore trong tam giác tạo bởi cạnh bên, đường cao và nửa đường chéo đáy.

Ví dụ Trả lời ngắn: thể tích một chiếc lều

Một chiếc lều cắm trại có dạng khối chóp tứ giác đều, đáy là hình vuông cạnh $6$ m, mỗi cạnh bên dài $5$ m. Tính thể tích không khí bên trong lều (đơn vị: m³, làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải. Gọi $O$ là tâm đáy; $SO$ là chiều cao. Nửa đường chéo đáy là $OA=\dfrac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2$ , nên:

$SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{25-18}=\sqrt7,\qquad V=\frac13\cdot 6^2\cdot\sqrt7=12\sqrt7\approx31{,}749.$

Vậy thể tích không khí trong lều khoảng $31{,}7$ m³ (ghi $31{,}7$ ).

Nhìn lại. Nếu dùng nhầm nửa cạnh đáy $3$ thay cho nửa đường chéo, ta được chiều cao $4$ và thể tích $48$ m³, một đáp án sai rất "đẹp".

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng	line perpendicular to a plane
hai mặt phẳng vuông góc	perpendicular planes
định lí ba đường vuông góc	theorem of three perpendiculars
hình chiếu vuông góc	orthogonal projection
góc nhị diện	dihedral angle
khoảng cách	distance
đường thẳng chéo nhau	skew lines
hình chóp đều	regular pyramid
hình lăng trụ đứng	right prism
thể tích	volume

Bài tập

Các bài được xếp từ dễ đến khó, mỗi bài ghi rõ dạng câu hỏi trong đề thi.

Bài 1 Trắc nghiệm

Khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông tại $A$ , $AB=3$ , $AC=4$ và $AA'=5$ . Thể tích của khối lăng trụ là

A. $30$ . B. $10$ . C. $60$ . D. $20$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $V_{\text{lăng trụ}}=B\cdot h$ ; lăng trụ đứng có chiều cao bằng cạnh bên.

Gợi ý các bước:

Tính diện tích tam giác vuông $ABC$ .
Nhân với $AA'$ .

Xem lời giải

Diện tích đáy là $\dfrac12\cdot3\cdot4=6$ , nên $V=6\cdot5=30$ . Phương án B nhân thêm $\dfrac13$ , phương án C quên $\dfrac12$ .

Đáp số. A.

Bài 2 Trắc nghiệm

Tứ diện $OABC$ có $OA$ , $OB$ , $OC$ đôi một vuông góc, $OA=2$ , $OB=3$ , $OC=4$ . Thể tích khối tứ diện là

A. $24$ . B. $12$ . C. $8$ . D. $4$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $V=\dfrac16\,OA\cdot OB\cdot OC$ .

Gợi ý các bước:

Coi $OAB$ là đáy (tam giác vuông), $OC$ là chiều cao.
Tính $\dfrac13\cdot S_{OAB}\cdot OC$ .

Xem lời giải

$V=\dfrac13\cdot\dfrac12\cdot2\cdot3\cdot4=4$ . Phương án A quên cả $\dfrac13$ và $\dfrac12$ ; phương án B quên $\dfrac13$ ; phương án C quên $\dfrac12$ .

Đáp số. D.

Bài 3 Trắc nghiệm

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$ , $SA\perp(ABC)$ , góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và mặt phẳng đáy bằng $60^\circ$ . Thể tích khối chóp là

A. $\dfrac{a^3\sqrt3}{24}$ . B. $\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$ . C. $\dfrac{3a^3\sqrt3}{8}$ . D. $\dfrac{a^3}{4}$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: gọi $M$ là trung điểm $BC$ ; vì $BC\perp(SAM)$ nên góc giữa $(SBC)$ và đáy là $\widehat{SMA}$ .

Gợi ý các bước:

Tính $AM=\dfrac{a\sqrt3}{2}$ rồi $SA=AM\tan60^\circ$ .
Tính $V=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot SA$ .

Xem lời giải

$SA=\dfrac{a\sqrt3}{2}\cdot\sqrt3=\dfrac{3a}{2}$ , nên $V=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{3a}{2}=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$ . Phương án A dùng nhầm $\tan30^\circ$ , phương án C quên $\dfrac13$ , phương án D lấy nhầm góc là $\widehat{SBA}$ .

Đáp số. B.

Bài 4 Đúng/Sai

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ , $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$ .

a) $AC\perp(BDD'B')$ .

b) Góc giữa hai đường thẳng $AB'$ và $BC'$ bằng $60^\circ$ .

c) Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BDD'B')$ bằng $\dfrac{a\sqrt2}{2}$ .

d) Số đo của góc nhị diện $[C', BD, C]$ bằng $45^\circ$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: dấu hiệu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai đường song song với chúng.

Gợi ý các bước:

$AC\perp BD$ và $AC\perp BB'$ .
Thay $BC'$ bằng $AD'$ (song song) và xét tam giác $AB'D'$ .
Với góc nhị diện, dùng $C'O\perp BD$ và $CO\perp BD$ .

Xem lời giải

a) Đúng. $AC\perp BD$ (hai đường chéo hình vuông) và $AC\perp BB'$ , nên $AC\perp(BDD'B')$ .

b) Đúng. $BC'\parallel AD'$ ; tam giác $AB'D'$ có ba cạnh đều bằng $a\sqrt2$ nên là tam giác đều, góc bằng $60^\circ$ .

c) Đúng. Theo a), $AO\perp(BDD'B')$ , nên khoảng cách là $AO=\dfrac{a\sqrt2}{2}$ .

d) Sai. Góc nhị diện là $\widehat{C'OC}$ với $\tan\widehat{C'OC}=\dfrac{CC'}{CO}=\dfrac{a}{\frac{a\sqrt2}{2}}=\sqrt2$ , nên góc khoảng $54{,}7^\circ$ .

Đáp số. a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Bài 5 Trả lời ngắn

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Tính góc giữa đường thẳng $A'C$ và mặt phẳng $(ABCD)$ (đơn vị: độ, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: hình chiếu của $A'C$ trên $(ABCD)$ là $AC$ .

Gợi ý các bước:

Gọi cạnh là $a$ , tính $AC=a\sqrt2$ .
Tính $\tan\widehat{A'CA}=\dfrac{AA'}{AC}$ .

Xem lời giải

$\tan\widehat{A'CA}=\dfrac{a}{a\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt2}$ , nên $\widehat{A'CA}\approx35{,}26^\circ$ .

Đáp số. $35$ .

Bài 6 Trả lời ngắn

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $2$ , $SA\perp(ABC)$ và $SA=1$ . Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: với $M$ là trung điểm $BC$ thì $BC\perp(SAM)$ ; $\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AM^2}$ .

Gợi ý các bước:

Tính $AM=\sqrt3$ .
Thay vào công thức.

Xem lời giải

$\dfrac{1}{AH^2}=1+\dfrac13=\dfrac43$ , nên $AH=\dfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866$ .

Đáp số. $0{,}87$ .

Bài 7 Trả lời ngắn

Mái che của một giếng trời có dạng hình chóp tứ giác đều, đáy là hình vuông cạnh $4$ m, chiều cao $3$ m. Tính góc giữa một mặt bên của mái và mặt đáy (đơn vị: độ, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: với $O$ là tâm đáy và $M$ là trung điểm một cạnh đáy, góc giữa mặt bên và đáy là $\widehat{SMO}$ .

Gợi ý các bước:

$OM$ bằng nửa cạnh đáy.
Tính $\tan\widehat{SMO}=\dfrac{SO}{OM}$ .

Xem lời giải

$OM=2$ , $\tan\widehat{SMO}=\dfrac32$ , nên $\widehat{SMO}\approx56{,}31^\circ$ .

Đáp số. $56$ .

Bài 8 Trả lời ngắn

Một máng nước dài $2$ m có dạng hình lăng trụ đứng, mặt cắt ngang là hình thang cân với đáy lớn (miệng máng) $0{,}6$ m, đáy nhỏ $0{,}4$ m và chiều sâu $0{,}3$ m. Máng chứa được tối đa bao nhiêu lít nước?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $V=B\cdot h$ , với đáy là hình thang; $1$ m³ $=1000$ lít.

Gợi ý các bước:

Tính diện tích hình thang.
Nhân với chiều dài máng, rồi đổi sang lít.

Xem lời giải

$B=\dfrac{(0{,}6+0{,}4)\cdot0{,}3}{2}=0{,}15$ m², nên $V=0{,}15\cdot2=0{,}3$ m³ $=300$ lít.

Đáp số. $300$ .

Bài 9 Tự luận

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , tâm $O$ , $SA\perp(ABCD)$ và $SA=a$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $SC$ và $BD$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $BD\perp(SAC)$ ; nếu $OH\perp SC$ trong mặt $(SAC)$ thì $OH$ là đoạn vuông góc chung.

Gợi ý các bước:

Chứng minh $BD\perp OH$ .
Tính $OH=OC\cdot\sin\widehat{SCA}$ .

Xem lời giải

Vì $BD\perp(SAC)$ và $OH\subset(SAC)$ nên $OH\perp BD$ ; lại có $OH\perp SC$ , nên $d(SC, BD)=OH$ . Ta có $OC=\dfrac{a\sqrt2}{2}$ , $SC=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt3$ , $\sin\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{SC}=\dfrac{1}{\sqrt3}$ :

$OH=\frac{a\sqrt2}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt3}=\frac{a\sqrt6}{6}.$

Đáp số. $d(SC, BD)=\dfrac{a\sqrt6}{6}$ .

Bài 10 Trả lời ngắn (thử thách)

Khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có thể tích bằng $30$ . Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $CC'$ . Cắt bỏ khối chóp $M.ABC$ khỏi khối lăng trụ. Tính thể tích phần còn lại.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: khối chóp và khối lăng trụ có cùng đáy; chiều cao của khối chóp bằng một nửa chiều cao lăng trụ.

Gợi ý các bước:

Viết $V_{M.ABC}=\dfrac13\cdot B\cdot\dfrac h2$ theo $V=B\cdot h$ .
Lấy $30$ trừ đi.

Xem lời giải

$d(M, (ABC))=\dfrac12 d(C', (ABC))=\dfrac h2$ , nên $V_{M.ABC}=\dfrac13\cdot B\cdot\dfrac h2=\dfrac{V}{6}=5$ . Phần còn lại có thể tích $30-5=25$ .

Đáp số. $25$ .

Quan hệ song song và vuông góc

Góc trong không gian

Khoảng cách

Thể tích khối chóp và khối lăng trụ

Thuật ngữ

Bài tập

Kiểm tra mini

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

a) $SO\perp(ABCD)$ .	Đúng	Sai
b) $SO=\sqrt2$ .	Đúng	Sai
c) Góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^\circ$ .	Đúng	Sai
d) Thể tích khối chóp bằng $\dfrac{4\sqrt2}{3}$ .	Đúng	Sai