Ôn tập: lượng giác, mũ – lôgarit, cấp số | Lớp 12

Các chủ đề lớp 11 này ít khi đứng thành một câu dài, nhưng xuất hiện rải rác khắp đề. Ở Phần I, thường có hai đến bốn câu hỏi ngắn: một công thức lượng giác, một phương trình lôgarit, một số hạng của cấp số, một giới hạn. Ở Phần II hoặc Phần III, đề hay có một mô hình thực tế dùng hàm số mũ hoặc hàm số lượng giác. Tổng cộng các chủ đề này thường chiếm khoảng $1$ đến $1{,}5$ điểm.

Bài ôn này nhắc lại công thức của từng mảng ngắn gọn, rồi làm ví dụ đúng như câu trong đề.

Hàm số và phương trình lượng giác

Định lí Công thức và phương trình cơ bản

$\sin^2x+\cos^2x=1$ ; $\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1$ ; $\sin2x=2\sin x\cos x$ .
$\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$ ; $\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b$ .
$\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+k2\pi$ hoặc $x=\pi-\alpha+k2\pi$ ; $\cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+k2\pi$ ; $\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).
Hàm số $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ và $y=A\cos(\omega x+\varphi)$ có chu kì $\dfrac{2\pi}{|\omega|}$ , giá trị nằm trong $[-|A|; |A|]$ .

Khi đề hỏi số nghiệm trên một đoạn, ta viết họ nghiệm rồi thử từng giá trị $k$ nguyên, hoặc nhìn đường tròn lượng giác.

Ví dụ Trắc nghiệm: phương trình côsin cơ bản

Nghiệm của phương trình $2\cos x+1=0$ là

A. $x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .

B. $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .

C. $x=\dfrac{2\pi}{3}+k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .

D. $x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .

Lời giải. Đưa về dạng $\cos x=\cos\alpha$ với $\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac12$ :

$2\cos x+1=0\iff\cos x=-\frac12=\cos\frac{2\pi}{3}\iff x=\pm\frac{2\pi}{3}+k2\pi.$

Chọn A. Phương án B ứng với $\cos x=\dfrac12$ (quên dấu trừ); phương án C và D dùng nhầm chu kì $\pi$ của hàm $\tan$ .

Hàm số lượng giác mô tả rất tốt các chuyển động lặp lại, chẳng hạn một cabin vòng quay.

Độ cao cabin

h(t)=22-20\cos\dfrac{\pi t}{10}

trong một vòng

Ví dụ Đúng/Sai: vòng quay quan sát

Một vòng quay quan sát quay đều. Độ cao (mét) của một cabin so với mặt đất sau $t$ phút là $h(t)=22-20\cos\dfrac{\pi t}{10}$ , $t\ge0$ .

a) Độ cao thấp nhất của cabin là $0$ m.

b) Mỗi vòng quay mất $20$ phút.

c) Tại thời điểm $t=10$ phút, cabin ở độ cao $42$ m.

d) Trong một vòng, thời gian cabin ở độ cao từ $32$ m trở lên là $10$ phút.

Lời giải. Ta dùng $-1\le\cos\dfrac{\pi t}{10}\le1$ và công thức chu kì.

a) Sai. Khi $\cos\dfrac{\pi t}{10}=1$ , độ cao thấp nhất là $22-20=2$ m.

b) Đúng. Chu kì là $\dfrac{2\pi}{\pi/10}=20$ phút.

c) Đúng. $h(10)=22-20\cos\pi=22+20=42$ m.

d) Sai. Xét $t\in[0; 20]$ , giải bất phương trình:

$22-20\cos\frac{\pi t}{10}\ge32\iff\cos\frac{\pi t}{10}\le-\frac12\iff\frac{2\pi}{3}\le\frac{\pi t}{10}\le\frac{4\pi}{3}\iff\frac{20}{3}\le t\le\frac{40}{3}.$

Thời gian đó là $\dfrac{40}{3}-\dfrac{20}{3}=\dfrac{20}{3}\approx6{,}67$ phút, không phải $10$ phút.

Vậy đáp án là a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Định lí Luỹ thừa, lôgarit và mô hình

Với $0<a\neq1$ , $b, c>0$ : $\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac$ , $\log_a\dfrac bc=\log_ab-\log_ac$ , $\log_ab^\alpha=\alpha\log_ab$ , $\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}$ .
$a^x=b\iff x=\log_ab$ (cần $b>0$ ); $\log_ax=b\iff x=a^b$ (cần $x>0$ ).
Khi giải bất phương trình: với $a>1$ giữ nguyên chiều; với $0<a<1$ đổi chiều.
Lãi kép: $A=A_0(1+r)^n$ . Tăng trưởng hoặc suy giảm: $N(t)=N_0e^{kt}$ hoặc $N(t)=N_0\cdot q^t$ (tăng khi $q>1$ , giảm khi $0<q<1$ ).

Với phương trình lôgarit, việc đầu tiên luôn là đặt điều kiện. Bỏ bước này là cách mất điểm phổ biến nhất.

Ví dụ Trả lời ngắn: thuốc trong máu

Sau khi tiêm, nồng độ một loại thuốc trong máu của bệnh nhân là $C(t)=40\cdot0{,}8^t$ (mg/L), với $t$ là số giờ kể từ lúc tiêm. Sau bao nhiêu giờ thì nồng độ thuốc giảm còn $5$ mg/L (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải. Ta giải phương trình mũ bằng cách lấy lôgarit:

$40\cdot0{,}8^t=5\iff0{,}8^t=\frac18\iff t=\log_{0{,}8}\frac18=\frac{\ln0{,}125}{\ln0{,}8}\approx9{,}32.$

Vậy sau khoảng $9{,}3$ giờ (ghi $9{,}3$ ).

Kiểm tra. Mỗi giờ nồng độ còn $80\%$ , nên sau $9$ giờ còn $40\cdot0{,}8^9\approx5{,}4$ mg/L, hơi lớn hơn $5$ ; kết quả $9{,}3$ là hợp lí.

Cấp số cộng và cấp số nhân

Định lí Hai loại cấp số

	Cấp số cộng (công sai $d$ )	Cấp số nhân (công bội $q$ )
Số hạng tổng quát	$u_n=u_1+(n-1)d$	$u_n=u_1\cdot q^{n-1}$
Tổng $n$ số hạng đầu	$S_n=\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}=\dfrac{n\big[2u_1+(n-1)d\big]}{2}$	$S_n=\dfrac{u_1(1-q^n)}{1-q}$ ( $q\neq1$ )
Ba số hạng liên tiếp	$u_k=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$	$u_k^2=u_{k-1}\cdot u_{k+1}$

Nhiều bài thực tế là cấp số "nguỵ trang": số ghế mỗi hàng tăng đều là cấp số cộng; số tiền tăng theo phần trăm là cấp số nhân.

Giới hạn

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
phương trình lượng giác cơ bản	basic trigonometric equation
chu kì	period
lôgarit tự nhiên	natural logarithm
lãi kép	compound interest
tăng trưởng mũ	exponential growth
cấp số cộng	arithmetic sequence
cấp số nhân	geometric sequence
công sai	common difference
công bội	common ratio
cấp số nhân lùi vô hạn	convergent geometric series (sum to infinity)
giới hạn	limit

Bài tập

Các bài được xếp từ dễ đến khó, mỗi bài ghi rõ dạng câu hỏi trong đề thi.

Bài 1 Trắc nghiệm

Cho $\sin x=\dfrac13$ . Giá trị của $\cos2x$ là

A. $\dfrac79$ . B. $\dfrac13$ . C. $-\dfrac79$ . D. $\dfrac89$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\cos2x=1-2\sin^2x$ .

Gợi ý các bước:

Tính $\sin^2x$ .
Thay vào công thức.

Xem lời giải

$\cos2x=1-2\cdot\dfrac19=\dfrac79$ . Phương án B quên bình phương, phương án C dùng nhầm $2\sin^2x-1$ , phương án D là $\cos^2x$ .

Đáp số. A.

Bài 2 Trắc nghiệm

Nghiệm của phương trình $\tan x=\sqrt3$ là

A. $x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$ . B. $x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ . C. $x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi$ . D. $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi$ ; $\tan\dfrac{\pi}{3}=\sqrt3$ .

Gợi ý các bước:

Tìm $\alpha$ với $\tan\alpha=\sqrt3$ .
Viết họ nghiệm với chu kì $\pi$ .

Xem lời giải

$\tan x=\tan\dfrac{\pi}{3}\iff x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$ . Phương án B bỏ sót một nửa số nghiệm; phương án C dùng $\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{3}$ .

Đáp số. A.

Bài 3 Trắc nghiệm

Đặt $a=\log_23$ . Khi đó $\log_224$ bằng

A. $3a$ . B. $3+a$ . C. $8+a$ . D. $1+3a$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\log_2(bc)=\log_2b+\log_2c$ .

Gợi ý các bước:

Viết $24=8\cdot3$ .
Dùng $\log_28=3$ .

Xem lời giải

$\log_224=\log_28+\log_23=3+a$ . Phương án A nhầm phép cộng thành phép nhân; phương án C quên tính $\log_28$ .

Đáp số. B.

Bài 4 Đúng/Sai

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=3$ và công bội $q=2$ .

a) $u_5=48$ .

b) Tổng $5$ số hạng đầu bằng $93$ .

c) $u_n=3\cdot2^n$ với mọi $n\ge1$ .

d) Số $384$ là số hạng thứ $7$ của cấp số nhân.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $u_n=u_1q^{n-1}$ ; $S_n=\dfrac{u_1(1-q^n)}{1-q}$ .

Gợi ý các bước:

Tính $u_5$ và $S_5$ .
Giải $3\cdot2^{n-1}=384$ .

Xem lời giải

a) Đúng. $u_5=3\cdot2^4=48$ .

b) Đúng. $S_5=\dfrac{3(1-2^5)}{1-2}=3\cdot31=93$ .

c) Sai. $u_n=3\cdot2^{n-1}$ ; công thức $3\cdot2^n$ cho $u_1=6$ .

d) Sai. $3\cdot2^{n-1}=384\iff2^{n-1}=128\iff n=8$ , nên $384$ là số hạng thứ $8$ .

Đáp số. a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Bài 5 Trả lời ngắn

Tính tổng các nghiệm của phương trình $4^x-6\cdot2^x+8=0$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $4^x=(2^x)^2$ ; đặt $t=2^x>0$ .

Gợi ý các bước:

Giải phương trình bậc hai theo $t$ .
Tìm $x$ từ $2^x=t$ .

Xem lời giải

$t^2-6t+8=0\iff t=2$ hoặc $t=4$ (đều dương). Khi đó $x=1$ hoặc $x=2$ ; tổng bằng $3$ .

Đáp số. $3$ .

Bài 6 Trả lời ngắn

Bất phương trình $\log_{\frac12}(x-2)\ge-2$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: cơ số $\dfrac12<1$ nên đổi chiều; điều kiện $x-2>0$ .

Gợi ý các bước:

Viết $-2=\log_{\frac12}4$ .
Giải $0<x-2\le4$ .

Xem lời giải

$\log_{\frac12}(x-2)\ge\log_{\frac12}4\iff0<x-2\le4\iff2<x\le6$ . Các số nguyên là $3$ , $4$ , $5$ , $6$ .

Đáp số. $4$ .

Bài 7 Trả lời ngắn

Bạn An gửi $100$ triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất $6\%$ một năm, lãi hằng năm được nhập vào vốn. Sau ít nhất bao nhiêu năm thì số tiền trong tài khoản đạt từ $150$ triệu đồng trở lên?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $A=A_0(1+r)^n$ ; $n$ là số nguyên dương.

Gợi ý các bước:

Giải $100\cdot1{,}06^n\ge150$ .
Lấy số nguyên nhỏ nhất thoả mãn.

Xem lời giải

$1{,}06^n\ge1{,}5\iff n\ge\log_{1{,}06}1{,}5\approx6{,}96$ . Kiểm tra: $100\cdot1{,}06^6\approx141{,}9$ và $100\cdot1{,}06^7\approx150{,}4$ (triệu đồng).

Đáp số. $7$ .

Bài 8 Trả lời ngắn

Một mẻ nuôi cấy có $1000$ vi khuẩn, và cứ $3$ giờ số vi khuẩn lại tăng gấp đôi, nên sau $t$ giờ có $N(t)=1000\cdot2^{\frac t3}$ con. Sau ít nhất bao nhiêu giờ (số nguyên) thì số vi khuẩn vượt quá $20\,000$ con?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $2^{\frac t3}>20\iff\dfrac t3>\log_220$ .

Gợi ý các bước:

Giải bất phương trình mũ.
Lấy số nguyên nhỏ nhất thoả mãn, rồi kiểm tra lại.

Xem lời giải

$t>3\log_220\approx12{,}97$ . Kiểm tra: $N(12)=1000\cdot2^4=16\,000$ và $N(13)\approx20\,159>20\,000$ .

Đáp số. $13$ .

Bài 9 Tự luận

Giải phương trình $\sin2x=\cos x$ trên đoạn $[0; \pi]$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\sin2x=2\sin x\cos x$ ; đưa về phương trình tích.

Gợi ý các bước:

Viết $\cos x(2\sin x-1)=0$ .
Giải từng phương trình và chọn nghiệm thuộc $[0; \pi]$ .

Xem lời giải

$2\sin x\cos x-\cos x=0\iff\cos x(2\sin x-1)=0$ . Trên $[0; \pi]$ : $\cos x=0\iff x=\dfrac{\pi}{2}$ ; $\sin x=\dfrac12\iff x=\dfrac{\pi}{6}$ hoặc $x=\dfrac{5\pi}{6}$ .

Đáp số. $x\in\left\{\dfrac{\pi}{6}; \dfrac{\pi}{2}; \dfrac{5\pi}{6}\right\}$ .

Bài 10 Trả lời ngắn (thử thách)

Thả một quả bóng từ độ cao $10$ m xuống sàn. Mỗi lần chạm sàn, bóng nảy lên đến độ cao bằng $\dfrac34$ độ cao ngay trước đó. Giả sử bóng nảy mãi như vậy, tính tổng quãng đường bóng đi được (đơn vị: m).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: tổng cấp số nhân lùi vô hạn $S=\dfrac{u_1}{1-q}$ .

Gợi ý các bước:

Quãng đường gồm lần rơi đầu $10$ m, rồi mỗi lần nảy có một lượt lên và một lượt xuống bằng nhau.
Các độ cao nảy là $7{,}5$ ; $7{,}5\cdot\dfrac34$ ; … lập cấp số nhân lùi vô hạn.

Xem lời giải

Tổng các độ cao nảy là $\dfrac{7{,}5}{1-\frac34}=30$ m. Mỗi độ cao được đi hai lần, nên quãng đường là $10+2\cdot30=70$ m.

Đáp số. $70$ .

Ôn tập: lượng giác, mũ – lôgarit, cấp số

Hàm số và phương trình lượng giác

Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Cấp số cộng và cấp số nhân

Giới hạn

Thuật ngữ

Bài tập

Kiểm tra mini

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

a) Tập xác định của hàm số là $(0; +\infty)$ .	Đúng	Sai
b) Hàm số đồng biến trên tập xác định.	Đúng	Sai
c) Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0; 1)$ .	Đúng	Sai
d) $\log_2x<3\iff x<8$ .	Đúng	Sai