Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Nhiệt độ trong một phòng thí nghiệm được theo dõi trong $5$ giờ. Sau $t$ giờ, nhiệt độ là $T(t)=t^3-6t^2+9t+20$ (°C), $0\le t\le 5$ . Lúc bắt đầu phòng có $20$ °C, sau $1$ giờ là $24$ °C, sau $3$ giờ lại về $20$ °C. Trong suốt $5$ giờ đó, nhiệt độ cao nhất và thấp nhất là bao nhiêu?

Bạn có thể nghĩ ngay đến cực đại $24$ °C lúc $t=1$ . Nhưng câu trả lời không phải là $24$ .

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Khám phá: cực đại có phải là cao nhất?

Ta tính nhiệt độ tại các giờ tròn:

$t$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$T(t)$	$20$	$24$	$22$	$20$	$24$	$40$

Đạo hàm $T'(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$ cho biết $T$ có cực đại $24$ tại $t=1$ và cực tiểu $20$ tại $t=3$ . Thế nhưng đến cuối buổi, $T(5)=40$ , cao hơn hẳn cực đại. Cực đại chỉ so với các thời điểm gần nó; còn "cao nhất" phải so với mọi thời điểm.

Nhiệt độ phòng thí nghiệm

T(t)=t^3-6t^2+9t+20

Điều kiện "có $x_0$ " rất quan trọng. Chẳng hạn $f(x)=x^2\le 4$ với mọi $x\in(0; 2)$ , nhưng không có $x$ nào trong khoảng đó cho $f(x)=4$ ; vì vậy $4$ không phải giá trị lớn nhất của $f$ trên $(0; 2)$ , và thực ra $f$ không có giá trị lớn nhất trên khoảng này.

Trên một đoạn

Giá trị lớn nhất chỉ có thể đạt ở hai nơi: tại một đầu mút, hoặc tại một điểm bên trong mà đồ thị "quay đầu", tức là nơi $f'=0$ hoặc $f'$ không xác định. Ở mọi điểm khác bên trong, $f'$ khác $0$ , nên hàm số vẫn đang tăng hoặc giảm và còn có giá trị lớn hơn ở gần đó. Vì vậy ta chỉ cần so sánh vài giá trị:

Tìm các điểm $x_1, x_2, \dots$ thuộc khoảng $(a; b)$ tại đó $f'(x)=0$ hoặc $f'(x)$ không xác định.
Tính $f(a)$ , $f(x_1)$ , $f(x_2)$ , …, $f(b)$ .
Số lớn nhất trong các số đó là $\max\limits_{[a; b]} f(x)$ , số nhỏ nhất là $\min\limits_{[a; b]} f(x)$ .

Ví dụ Hàm bậc ba trên một đoạn

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $f(x)=x^3-3x+1$ trên đoạn $[0; 2]$ .

Lời giải. Hàm đa thức liên tục trên $[0; 2]$ . Ta tìm nghiệm của $f'$ và chỉ giữ nghiệm nằm trong $(0; 2)$ :

$f'(x)=3x^2-3=0\iff x=1\ \text{hoặc}\ x=-1\ (\text{loại vì } -1\notin(0; 2)).$

So sánh giá trị tại điểm tới hạn và hai đầu mút:

$f(0)=1,\qquad f(1)=-1,\qquad f(2)=8-6+1=3.$

Vậy $\max\limits_{[0; 2]} f(x)=3$ (tại $x=2$ ) và $\min\limits_{[0; 2]} f(x)=-1$ (tại $x=1$ ).

Bước loại nghiệm nằm ngoài đoạn rất dễ quên. Ví dụ sau có một nghiệm bị loại và một nghiệm vô tỉ.

Ví dụ Hàm bậc bốn

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $f(x)=x^4-4x^2+5$ trên đoạn $[-1; 3]$ .

Lời giải. Ta giải $f'(x)=0$ rồi giữ các nghiệm thuộc $(-1; 3)$ :

$f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)=0\iff x\in\{0; \sqrt2; -\sqrt2\},\quad -\sqrt2\notin(-1; 3).$

Tính các giá trị cần so sánh. Với $x=\sqrt2$ ta có $x^2=2$ và $x^4=4$ :

$f(-1)=1-4+5=2,\quad f(0)=5,\quad f(\sqrt2)=4-8+5=1,\quad f(3)=81-36+5=50.$

Vậy $\max\limits_{[-1; 3]} f(x)=50$ tại $x=3$ và $\min\limits_{[-1; 3]} f(x)=1$ tại $x=\sqrt2$ .

Với hàm chứa căn, ta giải phương trình $f'(x)=0$ cẩn thận, có điều kiện để bình phương.

Ví dụ Hàm chứa căn

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $f(x)=x+\sqrt{4-x^2}$ .

Lời giải. Tập xác định là $[-2; 2]$ và $f$ liên tục trên đoạn này. Trên $(-2; 2)$ :

$f'(x)=1-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}=0\iff \sqrt{4-x^2}=x.$

Phương trình này cần $x\ge 0$ ; bình phương hai vế:

$4-x^2=x^2\iff x^2=2\iff x=\sqrt2\quad(\text{vì } x\ge 0).$

So sánh: $f(-2)=-2$ , $f(\sqrt2)=\sqrt2+\sqrt2=2\sqrt2$ , $f(2)=2$ .

Vậy giá trị lớn nhất là $2\sqrt2$ (tại $x=\sqrt2$ ), giá trị nhỏ nhất là $-2$ (tại $x=-2$ ).

Với hàm lượng giác, đặt ẩn phụ thường đưa bài toán về một đa thức trên một đoạn.

Ví dụ Hàm lượng giác và ẩn phụ

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $f(x)=2\sin x+\cos 2x$ trên đoạn $[0; \pi]$ .

Lời giải. Dùng công thức nhân đôi $\cos 2x=1-2\sin^2x$ và đặt $t=\sin x$ :

$f(x)=2\sin x+1-2\sin^2 x=g(t)=-2t^2+2t+1.$

Khi $x$ chạy trên $[0; \pi]$ , $t=\sin x$ chạy trên đoạn $[0; 1]$ . Ta tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $g$ trên $[0; 1]$ :

$g'(t)=-4t+2=0\iff t=\frac12;\qquad g(0)=1,\quad g\left(\frac12\right)=\frac32,\quad g(1)=1.$

Vậy $\max\limits_{[0; \pi]} f(x)=\dfrac32$ (khi $\sin x=\dfrac12$ , tức $x=\dfrac{\pi}{6}$ hoặc $x=\dfrac{5\pi}{6}$ ) và $\min\limits_{[0; \pi]} f(x)=1$ (khi $x\in\left\{0; \dfrac{\pi}{2}; \pi\right\}$ ).

Nhìn lại. Phải đổi đúng miền của ẩn phụ: $t\in[0; 1]$ chứ không phải $[-1; 1]$ , vì $\sin x\ge 0$ trên $[0; \pi]$ .

Trên một khoảng

Trên một khoảng (không chứa đầu mút), hàm số có thể không có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Khi đó ta lập bảng biến thiên và đọc kết quả từ bảng.

Ví dụ Giá trị nhỏ nhất trên một khoảng

Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x)=x+\dfrac{9}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ .

Lời giải. Ta tính đạo hàm và quy đồng để xét dấu:

$f'(x)=1-\frac{9}{x^2}=\frac{(x-3)(x+3)}{x^2},\qquad f'(x)=0\iff x=3\ \ (x>0).$

Với $x>0$ , dấu của $f'$ là dấu của $x-3$ . Khi $x\to0^+$ và khi $x\to+\infty$ , $f(x)\to+\infty$ :

$x$	$0$		$3$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$+\infty$	$\searrow$	$6$	$\nearrow$	$+\infty$

Vậy $\min\limits_{(0; +\infty)} f(x)=f(3)=6$ , còn $f$ không có giá trị lớn nhất trên $(0; +\infty)$ .

Đồ thị

y=x+\dfrac{9}{x}

với

x>0

Bài toán thực tế

Bây giờ ta trả lời câu hỏi về nhiệt độ ở đầu bài. Trong bài toán thực tế, đầu mút của đoạn thường là thời điểm bắt đầu và kết thúc, nên không được bỏ qua.

Ví dụ Nhiệt độ cao nhất và thấp nhất

Nhiệt độ phòng là $T(t)=t^3-6t^2+9t+20$ (°C), $0\le t\le 5$ (giờ). Tìm nhiệt độ cao nhất và thấp nhất trong $5$ giờ.

Lời giải. $T$ liên tục trên $[0; 5]$ . Ta tìm nghiệm của $T'$ trong $(0; 5)$ , rồi so sánh với hai đầu mút:

$T'(t)=3(t-1)(t-3)=0\iff t=1\ \text{hoặc}\ t=3;\qquad T(0)=20,\ T(1)=24,\ T(3)=20,\ T(5)=40.$

Vậy nhiệt độ cao nhất là $40$ °C (lúc kết thúc, $t=5$ ), thấp nhất là $20$ °C (lúc bắt đầu và lúc $t=3$ giờ).

Chú ý Những sai lầm thường gặp

Lấy cực đại làm giá trị lớn nhất. Sai: " $T$ đạt cực đại $24$ nên nhiệt độ cao nhất là $24$ °C". Lí do sai: chưa so sánh với đầu mút, mà $T(5)=40$ . Đúng: luôn tính cả $f(a)$ và $f(b)$ .
Giữ nghiệm nằm ngoài đoạn. Sai: tìm giá trị nhỏ nhất của $x^3-3x+1$ trên $[0; 2]$ mà tính cả $f(-1)=3$ . Lí do sai: $-1$ không thuộc đoạn đang xét. Đúng: chỉ xét nghiệm thuộc $(a; b)$ .
Sai miền của ẩn phụ. Sai: đặt $t=\sin x$ với $x\in[0; \pi]$ rồi xét $t\in[-1; 1]$ , được giá trị nhỏ nhất $g(-1)=-3$ . Lí do sai: trên $[0; \pi]$ thì $\sin x\ge 0$ . Đúng: $t\in[0; 1]$ , giá trị nhỏ nhất là $1$ .
Nói có giá trị lớn nhất khi không đạt được. Sai: " $x+\dfrac9x$ có giá trị lớn nhất là $+\infty$ ". Lí do sai: $+\infty$ không phải là một số và không có $x$ nào cho giá trị đó. Đúng: hàm số không có giá trị lớn nhất trên $(0; +\infty)$ .

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
giá trị lớn nhất	maximum (greatest) value
giá trị nhỏ nhất	minimum (least) value
đoạn	closed interval
khoảng	open interval
đầu mút	endpoint
điểm tới hạn	critical point
hàm số liên tục	continuous function
ẩn phụ	substitution (new variable)

Tóm tắt

$M=\max\limits_D f$ khi $f(x)\le M$ với mọi $x\in D$ và $M$ đạt được tại một điểm của $D$ . Tương tự với $\min$ .
Hàm liên tục trên đoạn $[a; b]$ luôn có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Trên đoạn: tìm nghiệm của $f'$ (và điểm $f'$ không xác định) trong $(a; b)$ → tính $f$ tại đó và tại $a$ , $b$ → so sánh.
Trên khoảng: lập bảng biến thiên; có thể không có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Đặt ẩn phụ thì phải tìm đúng miền giá trị của ẩn phụ.

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $y=x^3-3x^2$ trên đoạn $[-1; 3]$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: trên đoạn, so sánh giá trị tại các nghiệm của $y'$ thuộc khoảng $(-1; 3)$ và tại hai đầu mút.

Gợi ý các bước:

Giải $y'=3x^2-6x=0$ .
Tính $y$ tại các nghiệm và tại $-1$ , $3$ .

Xem lời giải

$y'=3x(x-2)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$ , cả hai thuộc $(-1; 3)$ . $y(-1)=-4$ , $y(0)=0$ , $y(2)=8-12=-4$ , $y(3)=27-27=0$ .

Đáp số. Giá trị lớn nhất $0$ (tại $x=0$ và $x=3$ ); giá trị nhỏ nhất $-4$ (tại $x=-1$ và $x=2$ ).

Bài 2

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $y=\dfrac{x-1}{x+2}$ trên đoạn $[0; 3]$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: nếu hàm số đơn điệu trên đoạn thì giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nằm ở hai đầu mút.

Gợi ý các bước:

Tính $y'$ và xem dấu.
Tính $y(0)$ và $y(3)$ .

Xem lời giải

$y'=\dfrac{1\cdot2-(-1)\cdot1}{(x+2)^2}=\dfrac{3}{(x+2)^2}>0$ , nên hàm số đồng biến trên $[0; 3]$ . $y(0)=-\dfrac12$ , $y(3)=\dfrac25$ .

Đáp số. Giá trị lớn nhất $\dfrac25$ ; giá trị nhỏ nhất $-\dfrac12$ .

Bài 3

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $y=x^4-2x^2+3$ trên đoạn $[0; 2]$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: chỉ giữ nghiệm của $y'$ nằm trong khoảng $(0; 2)$ .

Gợi ý các bước:

Giải $y'=4x^3-4x=0$ .
Loại nghiệm không thuộc $(0; 2)$ , rồi so sánh các giá trị.

Xem lời giải

$y'=4x(x-1)(x+1)$ ; trong $(0; 2)$ chỉ có $x=1$ . $y(0)=3$ , $y(1)=2$ , $y(2)=16-8+3=11$ .

Đáp số. Giá trị lớn nhất $11$ (tại $x=2$ ); giá trị nhỏ nhất $2$ (tại $x=1$ ).

Bài 4

Tìm giá trị nhỏ nhất của $y=x^2+\dfrac{16}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: trên một khoảng, lập bảng biến thiên để đọc giá trị nhỏ nhất.

Gợi ý các bước:

Tính $y'=2x-\dfrac{16}{x^2}=\dfrac{2(x^3-8)}{x^2}$ .
Tìm nghiệm dương của $y'$ và xét dấu hai bên.

Xem lời giải

$y'=0\iff x^3=8\iff x=2$ . Với $0<x<2$ thì $y'<0$ , với $x>2$ thì $y'>0$ . Vậy giá trị nhỏ nhất là $y(2)=4+8=12$ .

Đáp số. $\min\limits_{(0; +\infty)} y=12$ tại $x=2$ .

Bài 5

Cho hàm số $f(x)=-x^3+3x^2+2$ xét trên đoạn $[-1; 3]$ . Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) Phương trình $f'(x)=0$ có hai nghiệm thuộc đoạn $[-1; 3]$ .

b) Giá trị lớn nhất của $f$ trên $[-1; 3]$ bằng $6$ .

c) $f$ chỉ đạt giá trị lớn nhất tại $x=2$ .

d) Giá trị nhỏ nhất của $f$ trên $[-1; 3]$ bằng $2$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: so sánh giá trị tại các nghiệm của $f'$ và tại hai đầu mút; giá trị lớn nhất có thể đạt tại nhiều điểm.

Gợi ý các bước:

Giải $f'(x)=-3x^2+6x=0$ .
Tính $f(-1)$ , $f(0)$ , $f(2)$ , $f(3)$ .

Xem lời giải

$f'(x)=-3x(x-2)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$ . $f(-1)=1+3+2=6$ , $f(0)=2$ , $f(2)=-8+12+2=6$ , $f(3)=-27+27+2=2$ .

a) Đúng: $0$ và $2$ đều thuộc $[-1; 3]$ .

b) Đúng: số lớn nhất trong các giá trị là $6$ .

c) Sai: $f(-1)=6$ nữa, nên giá trị lớn nhất đạt tại cả $x=-1$ và $x=2$ .

d) Đúng: số nhỏ nhất là $2$ , đạt tại $x=0$ và $x=3$ .

Đáp số. a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Bài 6

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=x\sqrt{9-x^2}$ trên đoạn $[0; 3]$ (ghi kết quả dưới dạng số thập phân).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}$ và cách so sánh giá trị trên một đoạn.

Gợi ý các bước:

Tính $y'$ và quy đồng: tử là $9-2x^2$ .
Tìm nghiệm trong $(0; 3)$ và so sánh với $y(0)$ , $y(3)$ .

Xem lời giải

$y'=\sqrt{9-x^2}-\dfrac{x^2}{\sqrt{9-x^2}}=\dfrac{9-2x^2}{\sqrt{9-x^2}}=0\iff x^2=\dfrac92$ , tức $x=\dfrac{3}{\sqrt2}$ . Khi đó $y=\dfrac{3}{\sqrt2}\cdot\sqrt{\dfrac92}=\dfrac92$ . Hai đầu mút cho $y(0)=y(3)=0$ .

Đáp số. $4{,}5$ .

Bài 7

Một xưởng sản xuất $x$ chiếc ghế mỗi tuần ( $10\le x\le 100$ ) với tổng chi phí $C(x)=x^2+100x+2500$ (nghìn đồng). Chi phí trung bình cho mỗi chiếc ghế là $A(x)=\dfrac{C(x)}{x}$ . Xưởng nên sản xuất bao nhiêu chiếc mỗi tuần để chi phí trung bình thấp nhất? Chi phí đó là bao nhiêu?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: tìm giá trị nhỏ nhất của $A(x)=x+100+\dfrac{2500}{x}$ trên đoạn $[10; 100]$ .

Gợi ý các bước:

Tính $A'(x)$ và giải $A'(x)=0$ .
So sánh giá trị tại nghiệm và tại $10$ , $100$ .

Xem lời giải

$A'(x)=1-\dfrac{2500}{x^2}=0\iff x=50$ . $A(10)=10+100+250=360$ , $A(50)=50+100+50=200$ , $A(100)=100+100+25=225$ .

Đáp số. $50$ chiếc mỗi tuần; chi phí trung bình thấp nhất $200$ nghìn đồng mỗi chiếc.

Bài 8 Ôn tập

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $y=\cos 2x+2\cos x$ trên đoạn $[0; \pi]$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: công thức nhân đôi $\cos 2x=2\cos^2x-1$ (lớp 11); với $x\in[0; \pi]$ thì $\cos x\in[-1; 1]$ .

Gợi ý các bước:

Đặt $t=\cos x$ , viết $y=g(t)$ .
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $g$ trên $[-1; 1]$ .

Xem lời giải

$y=2t^2+2t-1=g(t)$ với $t\in[-1; 1]$ . $g'(t)=4t+2=0\iff t=-\dfrac12$ . $g(-1)=-1$ , $g\left(-\dfrac12\right)=\dfrac12-1-1=-\dfrac32$ , $g(1)=3$ .

Đáp số. Giá trị lớn nhất $3$ (tại $x=0$ ); giá trị nhỏ nhất $-\dfrac32$ (tại $x=\dfrac{2\pi}{3}$ ).

Bài 9 Ôn tập

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $y=-x^2+4x+1$ trên đoạn $[0; 5]$ bằng hai cách: dùng đỉnh parabol (lớp 10) và dùng đạo hàm.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: parabol $y=ax^2+bx+c$ với $a<0$ có đỉnh tại $x=-\dfrac{b}{2a}$ là điểm cao nhất (xem hàm số bậc hai).

Gợi ý các bước:

Cách 1: tìm đỉnh, xem đỉnh có thuộc $[0; 5]$ không, rồi so sánh với hai đầu mút.
Cách 2: giải $y'=0$ và so sánh như thường lệ.

Xem lời giải

Cách 1: đỉnh tại $x=-\dfrac{4}{2\cdot(-1)}=2\in[0; 5]$ , $y(2)=5$ . Cách 2: $y'=-2x+4=0\iff x=2$ . Cả hai cách đều so sánh $y(0)=1$ , $y(2)=5$ , $y(5)=-25+20+1=-4$ .

Đáp số. Giá trị lớn nhất $5$ (tại $x=2$ ); giá trị nhỏ nhất $-4$ (tại $x=5$ ).

Bài 10 Thử thách

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $y=x+\sqrt2\cos x$ trên đoạn $\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: cách so sánh giá trị trên một đoạn; để so sánh các số vô tỉ, dùng giá trị gần đúng.

Gợi ý các bước:

Giải $y'=1-\sqrt2\sin x=0$ trên $\left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$ .
Tính $y$ tại nghiệm và tại hai đầu mút, rồi so sánh bằng giá trị gần đúng.

Xem lời giải

$\sin x=\dfrac{1}{\sqrt2}$ cho $x=\dfrac{\pi}{4}$ . $y(0)=\sqrt2\approx1{,}414$ ; $y\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\pi}{4}+1\approx1{,}785$ ; $y\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}\approx1{,}571$ .

Đáp số. Giá trị lớn nhất $\dfrac{\pi}{4}+1$ (tại $x=\dfrac{\pi}{4}$ ); giá trị nhỏ nhất $\sqrt2$ (tại $x=0$ ).

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Khám phá: cực đại có phải là cao nhất?

Trên một đoạn

Trên một khoảng

Bài toán thực tế

Thuật ngữ

Tóm tắt

Luyện tập

Kiểm tra mini

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

a) Phương trình $f'(x)=0$ có ba nghiệm thuộc đoạn $[-1; 3]$ .	Đúng	Sai
b) $f(2)=-13$ .	Đúng	Sai
c) Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[-1; 3]$ bằng $3$ .	Đúng	Sai
d) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[-1; 3]$ bằng $-1$ .	Đúng	Sai