Ôn tập: đạo hàm và khảo sát hàm số | Lớp 12

Chủ đề này thường có mặt ở cả ba phần của đề: vài câu ngắn ở Phần I (đọc bảng biến thiên, tìm tiệm cận), thường một câu đúng/sai về một hàm số ở Phần II, và một hai câu giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ở Phần III, tổng cộng thường khoảng $1{,}5$ đến $2{,}5$ điểm.

Chi tiết nằm ở các bài cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tiệm cận và khảo sát hàm số.

Tính đơn điệu và cực trị

Dạng câu hỏi thường gặp: cho $f'(x)$ dạng tích, hỏi khoảng đồng biến, nghịch biến hoặc số điểm cực trị; cho hàm bậc ba, bậc bốn, hỏi giá trị cực đại, cực tiểu.

Ví dụ Trắc nghiệm: đọc dấu của đạo hàm

Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=(x+1)(x-2)^2$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ . Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. $(-\infty; -1)$ . B. $(-1; 2)$ . C. $(2; +\infty)$ . D. $(-1; +\infty)$ .

Lời giải. Vì $(x-2)^2\ge0$ , dấu của $f'(x)$ là dấu của $x+1$ (trừ tại $x=2$ , nơi $f'=0$ ):

$f'(x)<0\iff x<-1,\qquad f'(x)\ge0\ \text{khi}\ x\ge-1.$

Vậy hàm số nghịch biến trên $(-\infty; -1)$ , chọn A. Hàm số chỉ có một điểm cực trị là $x=-1$ ; tại $x=2$ đạo hàm không đổi dấu.

Với câu đúng/sai, ta tính đạo hàm và các giá trị cực trị một lần cho cả bốn ý.

Ví dụ Đúng/sai: một hàm bậc ba

Cho hàm số $f(x)=-x^3+3x^2+9x-2$ . a) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; 3)$ . b) Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ . c) Giá trị cực đại của hàm số bằng $25$ . d) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị có hệ số góc bằng $8$ .

Lời giải. Ta tính đạo hàm và các giá trị tại nghiệm:

$f'(x)=-3x^2+6x+9=-3(x+1)(x-3);\qquad f(-1)=-7,\quad f(3)=25.$

Hệ số $-3<0$ nên $f'>0$ giữa hai nghiệm và $f'<0$ ở ngoài.

a) Đúng: $f'(x)>0$ với $-1<x<3$ .

b) Sai: $f'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=-1$ , đó là điểm cực tiểu.

c) Đúng: cực đại tại $x=3$ , giá trị cực đại $f(3)=-27+27+27-2=25$ .

d) Đúng: hai điểm cực trị là $(-1; -7)$ và $(3; 25)$ , hệ số góc $\dfrac{25-(-7)}{3-(-1)}=\dfrac{32}{4}=8$ .

Đáp án: Đ S Đ Đ.

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Ví dụ Trả lời ngắn: tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Gọi $M$ , $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$ trên đoạn $[-2; 4]$ . Tính $M+m$ .

Lời giải. Ta giải $f'(x)=0$ và giữ các nghiệm thuộc $(-2; 4)$ :

$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)=0\iff x=-1\ \text{hoặc}\ x=3.$

So sánh bốn giá trị:

$f(-2)=3,\qquad f(-1)=10,\qquad f(3)=-22,\qquad f(4)=-15.$

Vậy $M=10$ , $m=-22$ và $M+m=-12$ . Đáp số ghi vào phiếu: $-12$ .

Tiệm cận

Ghi chú Ghi nhớ

$x=x_0$ là tiệm cận đứng nếu $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$ hoặc $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$ bằng $\pm\infty$ .
$y=b$ là tiệm cận ngang nếu $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=b$ hoặc $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=b$ .
$y=ax+b$ ( $a\ne0$ ) là tiệm cận xiên nếu $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$ . Với $y=\dfrac{x^2+x+1}{x-1}=x+2+\dfrac{3}{x-1}$ , tiệm cận xiên là $y=x+2$ .
Với $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ ( $c\ne0$ , $ad-bc\ne0$ ): tiệm cận đứng $x=-\dfrac dc$ , tiệm cận ngang $y=\dfrac ac$ .

Bẫy hay gặp: mẫu số bằng $0$ tại $x_0$ nhưng tử số cũng bằng $0$ tại đó; sau khi rút gọn, $x_0$ có thể không còn là tiệm cận đứng.

Ví dụ Trắc nghiệm: đếm tiệm cận

Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2-1}{x^2-3x+2}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? A. $2$ . B. $3$ . C. $1$ . D. $4$ .

Lời giải. Phân tích tử và mẫu rồi rút gọn với $x\ne1$ :

$y=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{x+1}{x-2}\quad(x\ne1).$

Khi $x\to1$ , $y\to-2$ (hữu hạn), nên $x=1$ không phải tiệm cận đứng. Khi $x\to2^+$ , $y\to+\infty$ , nên $x=2$ là tiệm cận đứng. Khi $x\to\pm\infty$ , $y\to1$ , nên $y=1$ là tiệm cận ngang.

Vậy có $2$ đường tiệm cận, chọn A. Phương án B tính nhầm cả $x=1$ .

Bảng biến thiên và đọc đồ thị

Từ bảng biến thiên hoặc đồ thị, ta đọc được khoảng đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và số nghiệm của phương trình $f(x)=k$ : đó là số giao điểm của đồ thị với đường thẳng nằm ngang $y=k$ .

Ví dụ Đúng/sai: đọc bảng biến thiên

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên:

$x$	$-\infty$		$-1$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$+\infty$

a) Giá trị cực đại của hàm số bằng $3$ . b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; +\infty)$ . c) Phương trình $f(x)=1$ có ba nghiệm phân biệt. d) Phương trình $f(x)=3$ có ba nghiệm phân biệt.

Lời giải. a) Đúng: $f'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-1$ , giá trị cực đại là $3$ .

b) Sai: trên $(-1; 2)$ hàm số nghịch biến.

c) Đúng: vì $-2<1<3$ , đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị một lần trên mỗi khoảng $(-\infty; -1)$ , $(-1; 2)$ , $(2; +\infty)$ .

d) Sai: đường thẳng $y=3$ chỉ chạm đồ thị tại điểm cực đại $x=-1$ và cắt thêm một lần trên $(2; +\infty)$ , tức là $2$ nghiệm.

Đáp án: Đ S Đ S.

Để nhận dạng hàm bậc ba $y=ax^3+bx^2+cx+d$ từ đồ thị, ta kiểm tra lần lượt: nhánh phải đi lên thì $a>0$ ; giao điểm với trục tung là $(0; d)$ ; hoành độ hai điểm cực trị là nghiệm của $y'$ .

Đồ thị của một hàm bậc ba

Ví dụ Trắc nghiệm: nhận dạng đồ thị

Đường cong trong hình trên là đồ thị của hàm số nào? A. $y=x^3-6x^2+9x-1$ . B. $y=-x^3+6x^2-9x+1$ . C. $y=x^3-6x^2+9x+1$ . D. $y=x^3+6x^2+9x-1$ .

Lời giải. Ta loại dần bằng các đặc điểm đọc từ hình. Nhánh phải đi lên nên $a>0$ : loại B. Đồ thị cắt trục tung tại $(0; -1)$ nên $d=-1$ : loại C. Với D, $y'=3(x+1)(x+3)$ có nghiệm âm, trái với hình (cực trị tại $x=1$ và $x=3$ ): loại D.

Kiểm tra A: $y'=3(x-1)(x-3)$ , $y(1)=3$ , $y(3)=-1$ , khớp với hình. Chọn A.

Chú ý Những sai lầm thường gặp

Coi mọi nghiệm của $f'$ là cực trị. Sai: " $f'=(x+1)(x-2)^2$ nên có $2$ điểm cực trị". Đúng: tại $x=2$ , $f'$ không đổi dấu; chỉ có $1$ điểm cực trị.
Nhầm điểm cực trị với giá trị cực trị. Điểm cực đại là $x_0$ , giá trị cực đại là $f(x_0)$ , điểm cực đại của đồ thị là $(x_0; f(x_0))$ . Đọc kĩ đề hỏi cái nào.
Quên đầu mút. Giá trị lớn nhất trên đoạn có thể đạt tại đầu mút, không nhất thiết tại điểm cực đại.
Không rút gọn trước khi tìm tiệm cận đứng. Nghiệm chung của tử và mẫu có thể không phải tiệm cận.

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
đồng biến / nghịch biến	increasing / decreasing
điểm cực đại / cực tiểu	local maximum / local minimum point
giá trị cực trị	turning value (local extreme value)
giá trị lớn nhất / nhỏ nhất	maximum / minimum value
tiệm cận đứng / ngang / xiên	vertical / horizontal / oblique asymptote
bảng biến thiên	table of variations
nghiệm bội chẵn	repeated root of even multiplicity
hệ số góc	gradient
đoạn / khoảng	closed interval / open interval

Bài tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1 Trắc nghiệm

Hàm số $y=x^4-2x^2+1$ có bao nhiêu điểm cực trị? A. $3$ . B. $1$ . C. $2$ . D. $0$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: điểm cực trị là nghiệm của $y'$ mà tại đó $y'$ đổi dấu.

Gợi ý các bước:

Phân tích $y'=4x^3-4x$ .
Xét dấu qua từng nghiệm.

Xem lời giải

$y'=4x(x-1)(x+1)$ có ba nghiệm đơn $-1$ , $0$ , $1$ , và $y'$ đổi dấu qua mỗi nghiệm.

Đáp số. A.

Bài 2 Trắc nghiệm

Đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x-1}{x-2}$ có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là A. $x=2$ và $y=3$ . B. $x=-2$ và $y=3$ . C. $x=2$ và $y=\dfrac12$ . D. $x=3$ và $y=2$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ có tiệm cận đứng $x=-\dfrac dc$ và tiệm cận ngang $y=\dfrac ac$ .

Gợi ý các bước:

Tìm nghiệm của mẫu và kiểm tra tử khác $0$ tại đó.
Lấy tỉ số hai hệ số của $x$ .

Xem lời giải

Mẫu bằng $0$ tại $x=2$ , tử bằng $5\ne0$ , nên $x=2$ là tiệm cận đứng. $\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=3$ . Phương án C lấy tỉ số hai hệ số tự do $\dfrac{-1}{-2}$ .

Đáp số. A.

Bài 3 Trả lời ngắn

Gọi $M$ , $m$ là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $y=x+\dfrac4x$ trên đoạn $[1; 5]$ . Tính $M+m$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: so sánh giá trị tại nghiệm của $y'$ thuộc $(1; 5)$ và tại hai đầu mút.

Gợi ý các bước:

Giải $y'=1-\dfrac{4}{x^2}=0$ .
Tính $y(1)$ , $y(2)$ , $y(5)$ .

Xem lời giải

$y'=0\iff x=2$ (loại $x=-2$ ). $y(1)=5$ , $y(2)=4$ , $y(5)=5+0{,}8=5{,}8$ . Vậy $M=5{,}8$ , $m=4$ .

Đáp số. $9{,}8$ .

Bài 4 Tự luận

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2+x+1}{x-1}$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: chia tử cho mẫu để viết $y=ax+b+\dfrac{r}{x-1}$ .

Gợi ý các bước:

Thực hiện phép chia đa thức.
Xét giới hạn khi $x\to1^\pm$ và hiệu $y-(ax+b)$ khi $x\to\pm\infty$ .

Xem lời giải

Phép chia cho $x^2+x+1=(x-1)(x+2)+3$ , nên $y=x+2+\dfrac{3}{x-1}$ . Khi $x\to1^+$ , $y\to+\infty$ , nên $x=1$ là tiệm cận đứng. Khi $x\to\pm\infty$ , $y-(x+2)=\dfrac{3}{x-1}\to0$ , nên $y=x+2$ là tiệm cận xiên. Đồ thị không có tiệm cận ngang vì $y\to\pm\infty$ .

Đáp số. Tiệm cận đứng $x=1$ , tiệm cận xiên $y=x+2$ .

Bài 5 Đúng/Sai

Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=x(x-1)^2(x+2)$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ .

a) Hàm số có ba điểm cực trị.

b) Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ .

c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$ .

d) $f(-1)>f(0)$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: nghiệm bội chẵn không làm $f'$ đổi dấu.

Gợi ý các bước:

Lập bảng xét dấu $f'$ với các nghiệm $-2$ , $0$ , $1$ .
Xét từng ý.

Xem lời giải

Dấu của $f'$ : dương trên $(-\infty; -2)$ , âm trên $(-2; 0)$ , dương trên $(0; 1)$ và $(1; +\infty)$ .

a) Sai: tại $x=1$ không đổi dấu; chỉ có hai điểm cực trị $x=-2$ và $x=0$ .

b) Đúng: $f'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=0$ .

c) Đúng: $f'\ge0$ trên $(0; +\infty)$ và chỉ bằng $0$ tại $x=1$ .

d) Đúng: $f$ nghịch biến trên $(-2; 0)$ và $-1<0$ .

Đáp số. a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Bài 6 Trả lời ngắn

Nồng độ một loại thuốc trong máu sau khi uống $t$ giờ là $C(t)=\dfrac{5t}{t^2+4}$ (mg/l), $t\ge0$ . Nồng độ cao nhất bằng bao nhiêu mg/l?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: đạo hàm của thương $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ ; giá trị lớn nhất trên nửa khoảng $[0; +\infty)$ .

Gợi ý các bước:

Tính $C'(t)$ và tìm nghiệm dương.
Xét dấu $C'$ , chú ý $C(0)=0$ và $C(t)\to0$ khi $t\to+\infty$ .

Xem lời giải

$C'(t)=\frac{5(t^2+4)-5t\cdot2t}{(t^2+4)^2}=\frac{5(4-t^2)}{(t^2+4)^2}.$ Với $t\ge0$ , $C'>0$ khi $t<2$ và $C'<0$ khi $t>2$ . Nồng độ cao nhất là $C(2)=\dfrac{10}{8}=1{,}25$ mg/l, sau $2$ giờ.

Đáp số. $1{,}25$ .

Bài 7 Trắc nghiệm

Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có bảng biến thiên:

$x$	$-\infty$		$0$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$-3$	$\nearrow$	$+\infty$

Số nghiệm của phương trình $2f(x)+6=0$ là A. $1$ . B. $2$ . C. $3$ . D. $0$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: số nghiệm của $f(x)=k$ là số giao điểm của đồ thị với đường thẳng $y=k$ .

Gợi ý các bước:

Đưa về $f(x)=-3$ .
Đọc bảng: $-3$ là giá trị cực tiểu.

Xem lời giải

$2f(x)+6=0\iff f(x)=-3$ . Đường thẳng $y=-3$ chạm đồ thị tại điểm cực tiểu $x=2$ và cắt nhánh trái một lần trên $(-\infty; 0)$ (vì $f$ tăng từ $-\infty$ lên $1$ ). Không cắt trên $(2; +\infty)$ vì ở đó $f>-3$ .

Đáp số. B.

Bài 8 Đúng/Sai

Cho hàm số $y=\dfrac{x+1}{x-1}$ .

a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ .

b) Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ .

c) Giao điểm hai tiệm cận của đồ thị là $I(1; 1)$ .

d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[2; 4]$ bằng $3$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ có $y'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}$ ; tính đơn điệu chỉ nói trên từng khoảng.

Gợi ý các bước:

Tính $y'$ .
Tìm hai tiệm cận và so sánh $y(2)$ , $y(4)$ .

Xem lời giải

$y'=\dfrac{-1-1}{(x-1)^2}=\dfrac{-2}{(x-1)^2}<0$ với mọi $x\ne1$ .

a) Đúng: mẫu bằng $0$ chỉ tại $x=1$ .

b) Sai: hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$ , nhưng $y(0)=-1<y(2)=3$ nên không nghịch biến trên cả hợp.

c) Đúng: tiệm cận đứng $x=1$ , tiệm cận ngang $y=1$ .

d) Đúng: hàm số nghịch biến trên $[2; 4]$ nên giá trị lớn nhất là $y(2)=3$ .

Đáp số. a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Bài 9 Trả lời ngắn

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=(x^2-3)e^x$ trên đoạn $[0; 2]$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $(uv)'=u'v+uv'$ và $(e^x)'=e^x$ .

Gợi ý các bước:

Tính $y'=(x^2+2x-3)e^x$ và giải $y'=0$ trên $(0; 2)$ .
So sánh với $y(0)$ , $y(2)$ .

Xem lời giải

$y'=2xe^x+(x^2-3)e^x=(x-1)(x+3)e^x=0\iff x=1$ (loại $x=-3$ ). $y(0)=-3$ , $y(1)=-2e\approx-5{,}44$ , $y(2)=e^2\approx7{,}39$ . Giá trị nhỏ nhất là $-2e\approx-5{,}4$ .

Đáp số. $-5{,}4$ .

Bài 10 Thử thách

Đồ thị hàm số $y=ax^3+bx^2+cx+d$ có điểm cực đại $(0; 2)$ và điểm cực tiểu $(2; -2)$ . Tìm $a$ , $b$ , $c$ , $d$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: tại điểm cực trị $x_0$ thì $y'(x_0)=0$ ; điểm cực trị nằm trên đồ thị.

Gợi ý các bước:

Viết bốn phương trình: $y(0)=2$ , $y'(0)=0$ , $y(2)=-2$ , $y'(2)=0$ .
Giải hệ rồi kiểm tra lại loại cực trị.

Xem lời giải

$y'=3ax^2+2bx+c$ . Từ $y(0)=2$ và $y'(0)=0$ : $d=2$ , $c=0$ . Từ $y'(2)=0$ : $12a+4b=0$ , tức $b=-3a$ . Từ $y(2)=-2$ : $8a+4b+2=-2$ , tức $8a-12a=-4$ , nên $a=1$ , $b=-3$ .

Kiểm tra. $y=x^3-3x^2+2$ , $y'=3x(x-2)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $0$ và từ $-$ sang $+$ tại $2$ ; $y(0)=2$ , $y(2)=-2$ .

Đáp số. $a=1$ , $b=-3$ , $c=0$ , $d=2$ .

Kiểm tra mini

Chấm như đề thi tốt nghiệp THPT: Phần I mỗi câu 0,25 điểm; Phần II mỗi câu tối đa 1 điểm (đúng 1, 2, 3, 4 ý được 0,1; 0,25; 0,5; 1 điểm); Phần III mỗi câu 0,5 điểm.

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Hàm số

y=f(x)

có đạo hàm

f'(x)=(x-1)(x+3)

. Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(1; +\infty)$ .
B. $(-3; 1)$ .
C. $(-\infty; 1)$ .
D. $(-3; +\infty)$ .

Câu 2. Đồ thị hàm số

y=\dfrac{x+2}{x^2-4}

có bao nhiêu tiệm cận đứng?

A. $1$ .
B. $2$ .
C. $0$ .
D. $3$ .

Câu 3. Giá trị lớn nhất của hàm số

y=-x^3+3x+1

trên đoạn

[0; 2]

bằng

A. $3$ .
B. $1$ .
C. $-1$ .
D. $2$ .

Câu 4.

Hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên:

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$4$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$+\infty$

Giá trị cực tiểu của hàm số bằng

A. $0$ .
B. $1$ .
C. $4$ .
D. $-1$ .

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Cho hàm số

f(x)=x^4-2x^2+3

a) $f'(x)=4x^3-4x$ .	Đúng	Sai
b) Hàm số có ba điểm cực trị.	Đúng	Sai
c) Giá trị cực đại của hàm số bằng $2$ .	Đúng	Sai
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$ bằng $2$ .	Đúng	Sai

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số

y=\dfrac{2x+1}{x-3}

cắt nhau tại điểm

I(a; b)

. Tính

a+b

Câu 2. Gọi

M

m

là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

y=x+\dfrac1x

trên đoạn

\left[\dfrac12; 3\right]

. Tính

M+m

(làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Xem đáp án và giải thích

Phần I, câu 1: A. $f'(x)>0\iff x<-3$ hoặc $x>1$ . Phương án B là khoảng hàm số nghịch biến; C và D chứa một phần của $(-3; 1)$ , nơi $f'<0$ .
Phần I, câu 2: A. Với $x\ne-2$ , $y=\dfrac{1}{x-2}$ ; khi $x\to-2$ , $y\to-\dfrac14$ nên $x=-2$ không phải tiệm cận đứng. Chỉ còn $x=2$ . Phương án B quên rút gọn.
Phần I, câu 3: A. $y'=-3x^2+3=0\iff x=1$ (loại $-1$ ). $y(0)=1$ , $y(1)=3$ , $y(2)=-1$ . Phương án B là $y(0)$ , phương án C là giá trị nhỏ nhất.
Phần I, câu 4: A. $f'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=1$ , giá trị cực tiểu là $f(1)=0$ . Phương án B là điểm cực tiểu, C là giá trị cực đại, D là điểm cực đại.
Phần II, câu 1: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng. a) Đúng. b) Đúng: $f'=4x(x-1)(x+1)$ đổi dấu qua ba nghiệm. c) Sai: cực đại tại $x=0$ , giá trị $3$ ; số $2$ là giá trị cực tiểu. d) Đúng: $f(\pm1)=2$ và $f(x)-2=(x^2-1)^2\ge0$ .
Phần III, câu 1: 5. Tiệm cận đứng $x=3$ , tiệm cận ngang $y=2$ , nên $I(3; 2)$ và $a+b=5$ .
Phần III, câu 2: 5,3. $y'=1-\dfrac{1}{x^2}=0\iff x=1$ . $y\left(\dfrac12\right)=2{,}5$ , $y(1)=2$ , $y(3)=\dfrac{10}{3}$ . Vậy $M+m=\dfrac{10}{3}+2=\dfrac{16}{3}\approx5{,}3$ .