Lemonmath
English

Ôn tập: thống kê và xác suất

Bài 7.8 · 40 phút đọc · Cập nhật

🖨 In phiếu tự học Vì sao nên in?

Thống kê và xác suất chắc chắn có trong đề thi. Phần I thường có hai đến ba câu tính nhanh một số đặc trưng hoặc một xác suất. Ở Phần II hoặc Phần III, đề thường có một câu xác suất có điều kiện hoặc công thức Bayes gắn với thực tế. Chủ đề này thường chiếm khoảng 11 đến 1,51{,}5 điểm.

Phần thống kê dùng chung bảng sau: thời gian dùng điện thoại mỗi ngày (phút) của 4040 học sinh.

Thời gian (phút) [0;30)[0; 30) [30;60)[30; 60) [60;90)[60; 90) [90;120)[90; 120) [120;150)[120; 150)
Số học sinh 44 1010 1414 88 44
Giá trị đại diện 1515 4545 7575 105105 135135
Tần số tích luỹ 44 1414 2828 3636 4040

Số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Với bảng trên, n2=20\dfrac n2=20 nằm trong nhóm [60;90)[60; 90) (vì 14<20≤2814<20\le28), nên Me=60+20−1414⋅30≈72,86M_e=60+\dfrac{20-14}{14}\cdot30\approx72{,}86. Nhóm có tần số lớn nhất cũng là [60;90)[60; 90), nên Mo=60+44+6⋅30=72M_o=60+\dfrac{4}{4+6}\cdot30=72.

Số đặc trưng đo độ phân tán

Xác suất có điều kiện và quy tắc nhân

Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

0,020,980,950,050,10,9Người được xét nghiệmMắc bệnhKhông mắcDương tính: 0,019Âm tính: 0,001Dương tính: 0,098Âm tính: 0,882
Sơ đồ cây cho xét nghiệm

Thuật ngữ

Bài tập

Các bài xếp từ dễ đến khó, có ghi dạng câu hỏi trong đề thi.

Bài 1 Trắc nghiệm

Thời gian chờ (phút) của 1010 khách hàng được ghép nhóm: nhóm [0;4)[0; 4) có 33 người, nhóm [4;8)[4; 8) có 55 người, nhóm [8;12)[8; 12) có 22 người. Số trung bình của mẫu số liệu là

A. 5,65{,}6. B. 66. C. 18,6718{,}67. D. 3,63{,}6.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: xˉ=∑nixin\bar x=\dfrac{\sum n_ix_i}{n} với xix_i là giá trị đại diện (trung điểm nhóm).

Gợi ý các bước:

  1. Các giá trị đại diện là 22, 66, 1010.
  2. Tính tổng nixin_ix_i rồi chia cho 1010.
Xem lời giải

xˉ=3⋅2+5⋅6+2⋅1010=5610=5,6\bar x=\dfrac{3\cdot2+5\cdot6+2\cdot10}{10}=\dfrac{56}{10}=5{,}6. Phương án B là trung bình của ba giá trị đại diện, phương án C chia cho 33 thay vì 1010, phương án D dùng đầu mút trái.

Đáp số. A.

Bài 2 Trắc nghiệm

Điểm kiểm tra của 5050 học sinh được cho trong bảng. Trung vị của mẫu số liệu (làm tròn đến hàng phần trăm) là

Điểm [5;6)[5; 6) [6;7)[6; 7) [7;8)[7; 8) [8;9)[8; 9) [9;10)[9; 10)
Số học sinh 44 88 1616 1414 88

A. 7,817{,}81. B. 7,57{,}5. C. 6,816{,}81. D. 7,937{,}93.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: nhóm chứa trung vị là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ ≥n2\ge\dfrac n2.

Gợi ý các bước:

  1. Tần số tích luỹ: 44, 1212, 2828, 4242, 5050; n2=25\dfrac n2=25.
  2. Thay vào công thức với C=12C=12, nm=16n_m=16.
Xem lời giải

Me=7+25−1216⋅1=7,8125≈7,81M_e=7+\dfrac{25-12}{16}\cdot1=7{,}8125\approx7{,}81. Phương án C lấy C=28C=28 (gồm cả nhóm chứa trung vị), phương án D dùng nhầm tần số 1414 của nhóm sau, phương án B chỉ là trung điểm nhóm.

Đáp số. A.

Bài 3 Đúng/Sai

Cân nặng (kg) của 2020 học sinh: nhóm [45;50)[45; 50) có 55 bạn, nhóm [50;55)[50; 55) có 1010 bạn, nhóm [55;60)[55; 60) có 55 bạn.

a) Mốt của mẫu số liệu thuộc nhóm [55;60)[55; 60).

b) Tứ phân vị thứ nhất Q1=50Q_1=50.

c) Phương sai của mẫu số liệu bằng 12,512{,}5.

d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu bằng 12,512{,}5 kg.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: mốt thuộc nhóm có tần số lớn nhất; s2=∑ni(xi−xˉ)2ns^2=\dfrac{\sum n_i(x_i-\bar x)^2}{n}, s=s2s=\sqrt{s^2}.

Gợi ý các bước:

  1. Giá trị đại diện 47,547{,}5; 52,552{,}5; 57,557{,}5, trung bình xˉ=52,5\bar x=52{,}5.
  2. Tần số tích luỹ 55, 1515, 2020; n4=5\dfrac n4=5.
Xem lời giải

a) Sai. Nhóm có tần số lớn nhất là [50;55)[50; 55).

b) Đúng. Nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ ≥5\ge5 là [45;50)[45; 50): Q1=45+5−05⋅5=50Q_1=45+\dfrac{5-0}{5}\cdot5=50.

c) Đúng. s2=5⋅(−5)2+10⋅02+5⋅5220=25020=12,5s^2=\dfrac{5\cdot(-5)^2+10\cdot0^2+5\cdot5^2}{20}=\dfrac{250}{20}=12{,}5.

d) Sai. s=12,5≈3,54s=\sqrt{12{,}5}\approx3{,}54 kg.

Đáp số. a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Bài 4 Trả lời ngắn

Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm sau (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Nhóm [0;10)[0; 10) [10;20)[10; 20) [20;30)[20; 30) [30;40)[30; 40)
Tần số 55 1212 1515 88
Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: ΔQ=Q3−Q1\Delta_Q=Q_3-Q_1; vị trí của Q1Q_1, Q3Q_3 là n4\dfrac n4, 3n4\dfrac{3n}{4}.

Gợi ý các bước:

  1. n=40n=40, tần số tích luỹ 55, 1717, 3232, 4040.
  2. Vị trí 1010 thuộc [10;20)[10; 20), vị trí 3030 thuộc [20;30)[20; 30).
Xem lời giải

Q1=10+10−512⋅10=856≈14,17,Q3=20+30−1715⋅10=863≈28,67.Q_1=10+\frac{10-5}{12}\cdot10=\frac{85}{6}\approx14{,}17,\qquad Q_3=20+\frac{30-17}{15}\cdot10=\frac{86}{3}\approx28{,}67.

Để tránh sai số làm tròn, ta trừ hai phân số: ΔQ=863−856=876=14,5\Delta_Q=\dfrac{86}{3}-\dfrac{85}{6}=\dfrac{87}{6}=14{,}5.

Đáp số. 14,514{,}5.

Bài 5 Trắc nghiệm

Cho hai biến cố độc lập AA, BB với P(A)=0,4P(A)=0{,}4 và P(B)=0,5P(B)=0{,}5. Xác suất P(A∪B)P(A\cup B) bằng

A. 0,90{,}9. B. 0,20{,}2. C. 0,70{,}7. D. 0,30{,}3.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) và P(A∩B)=P(A)P(B)P(A\cap B)=P(A)P(B).

Gợi ý các bước:

  1. Tính P(A∩B)P(A\cap B).
  2. Thay vào công thức cộng.
Xem lời giải

P(A∩B)=0,2P(A\cap B)=0{,}2, nên P(A∪B)=0,4+0,5−0,2=0,7P(A\cup B)=0{,}4+0{,}5-0{,}2=0{,}7. Phương án A coi AA, BB xung khắc; phương án B là P(A∩B)P(A\cap B); phương án D là 1−0,71-0{,}7.

Đáp số. C.

Bài 6 Trả lời ngắn

Một hộp có 1010 tấm thẻ, trong đó có 44 thẻ đỏ. Lấy lần lượt hai thẻ, không hoàn lại. Tính xác suất cả hai thẻ đều đỏ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: P(A∩B)=P(A)⋅P(B∣A)P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A).

Gợi ý các bước:

  1. P(laˆˋn 1 đỏ)=410P(\text{lần 1 đỏ})=\dfrac{4}{10}.
  2. Sau khi lấy một thẻ đỏ, còn 33 thẻ đỏ trong 99 thẻ.
Xem lời giải

P=410⋅39=215≈0,133P=\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac39=\dfrac{2}{15}\approx0{,}133.

Đáp số. 0,130{,}13.

Bài 7 Trả lời ngắn

Trong hộp thư của một công ty, 30%30\% số thư là thư rác. Bộ lọc đánh dấu "rác" cho 90%90\% thư rác và cho 5%5\% thư bình thường. Một thư bị đánh dấu "rác". Tính xác suất thư đó thật sự là thư rác (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes.

Gợi ý các bước:

  1. Tính P(đaˊnh daˆˊu)=0,3⋅0,9+0,7⋅0,05P(\text{đánh dấu})=0{,}3\cdot0{,}9+0{,}7\cdot0{,}05.
  2. Chia nhánh "rác và bị đánh dấu" cho kết quả đó.
Xem lời giải

P(đaˊnh daˆˊu)=0,27+0,035=0,305P(\text{đánh dấu})=0{,}27+0{,}035=0{,}305, nên P(raˊc∣đaˊnh daˆˊu)=0,270,305≈0,885P(\text{rác}\mid\text{đánh dấu})=\dfrac{0{,}27}{0{,}305}\approx0{,}885.

Đáp số. 0,890{,}89.

Bài 8 Tự luận

Ở một thành phố, xác suất một ngày có mưa là 0,30{,}3. Nếu trời mưa, xác suất bạn Minh đi học muộn là 0,40{,}4; nếu không mưa, xác suất đó là 0,10{,}1. Tính xác suất Minh đi học muộn vào một ngày bất kì. Biết hôm nay Minh đi học muộn, tính xác suất hôm nay trời mưa.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: vẽ sơ đồ cây với hai nhánh "mưa" và "không mưa".

Gợi ý các bước:

  1. Dùng công thức xác suất toàn phần cho biến cố "đi muộn".
  2. Dùng công thức Bayes cho "mưa khi biết đi muộn".
Xem lời giải

P(muộn)=0,3⋅0,4+0,7⋅0,1=0,12+0,07=0,19P(\text{muộn})=0{,}3\cdot0{,}4+0{,}7\cdot0{,}1=0{,}12+0{,}07=0{,}19. Khi đó P(mưa∣muộn)=0,120,19=1219≈0,63P(\text{mưa}\mid\text{muộn})=\dfrac{0{,}12}{0{,}19}=\dfrac{12}{19}\approx0{,}63.

Đáp số. 0,190{,}19 và khoảng 0,630{,}63.

Bài 9 Trả lời ngắn

Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm sau.

Nhóm [2;4)[2; 4) [4;6)[4; 6) [6;8)[6; 8) [8;10)[8; 10)
Tần số 44 88 66 22
Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: s2=∑nixi2n−xˉ2s^2=\dfrac{\sum n_ix_i^2}{n}-\bar x^2.

Gợi ý các bước:

  1. Giá trị đại diện 33, 55, 77, 99; tính xˉ\bar x.
  2. Tính trung bình các bình phương, trừ xˉ2\bar x^2, rồi lấy căn.
Xem lời giải

xˉ=12+40+42+1820=5,6\bar x=\dfrac{12+40+42+18}{20}=5{,}6. 4⋅9+8⋅25+6⋅49+2⋅8120=69220=34,6\dfrac{4\cdot9+8\cdot25+6\cdot49+2\cdot81}{20}=\dfrac{692}{20}=34{,}6, nên s2=34,6−31,36=3,24s^2=34{,}6-31{,}36=3{,}24 và s=1,8s=1{,}8.

Đáp số. 1,81{,}8.

Bài 10 Trả lời ngắn (thử thách)

Một cửa hàng nhập linh kiện từ ba nhà cung cấp X, Y, Z với tỉ lệ 50%50\%, 30%30\%, 20%20\%. Tỉ lệ linh kiện lỗi của X, Y, Z lần lượt là 1%1\%, 2%2\%, 3%3\%. Chọn ngẫu nhiên một linh kiện thì thấy bị lỗi. Tính xác suất linh kiện đó do Z cung cấp (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: công thức xác suất toàn phần với ba trường hợp X, Y, Z; công thức Bayes.

Gợi ý các bước:

  1. Tính P(loˆ˜i)P(\text{lỗi}) bằng tổng ba nhánh.
  2. Chia nhánh của Z cho P(loˆ˜i)P(\text{lỗi}).
Xem lời giải

P(loˆ˜i)=0,5⋅0,01+0,3⋅0,02+0,2⋅0,03=0,005+0,006+0,006=0,017P(\text{lỗi})=0{,}5\cdot0{,}01+0{,}3\cdot0{,}02+0{,}2\cdot0{,}03=0{,}005+0{,}006+0{,}006=0{,}017. Khi đó P(Z∣loˆ˜i)=0,0060,017≈0,353P(Z\mid\text{lỗi})=\dfrac{0{,}006}{0{,}017}\approx0{,}353.

Đáp số. 0,350{,}35.

Kiểm tra mini

Kiểm tra mini

Chấm như đề thi tốt nghiệp THPT: Phần I mỗi câu 0,25 điểm; Phần II mỗi câu tối đa 1 điểm (đúng 1, 2, 3, 4 ý được 0,1; 0,25; 0,5; 1 điểm); Phần III mỗi câu 0,5 điểm.

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Một mẫu số liệu ghép nhóm có nhóm [10;20)[10; 20) với tần số 22, nhóm [20;30)[20; 30) với tần số 55, nhóm [30;40)[30; 40) với tần số 33. Số trung bình của mẫu là
Câu 2. Với mẫu số liệu ở câu trên, nhóm chứa tứ phân vị thứ ba Q3Q_3 là
Câu 3. Cho hai biến cố AA, BB với P(B)>0P(B)>0. Xác suất của AA khi biết BB đã xảy ra là
Câu 4. Cho P(A)=0,3P(A)=0{,}3 và P(B∣A)=0,5P(B\mid A)=0{,}5. Khi đó P(A∩B)P(A\cap B) bằng

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Một túi có 55 bi đỏ và 33 bi trắng. Lấy lần lượt hai bi, không hoàn lại.
a) Xác suất bi thứ nhất màu đỏ là 58\dfrac58.
b) Xác suất bi thứ hai màu đỏ, biết bi thứ nhất màu đỏ, là 47\dfrac47.
c) Xác suất cả hai bi đều màu đỏ là 514\dfrac{5}{14}.
d) Xác suất bi thứ hai màu đỏ là 47\dfrac47.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Mẫu số liệu ghép nhóm có nhóm [0;2)[0; 2) tần số 33, nhóm [2;4)[2; 4) tần số 44, nhóm [4;6)[4; 6) tần số 33. Tính độ lệch chuẩn của mẫu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Câu 2. Cho P(B)=0,4P(B)=0{,}4, P(A∣B)=0,5P(A\mid B)=0{,}5 và P(A∣B‾)=0,25P(A\mid\overline B)=0{,}25. Tính P(B∣A)P(B\mid A) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Xem đáp án và giải thích
  1. Phần I, câu 1: B. xˉ=2⋅15+5⋅25+3⋅3510=26\bar x=\dfrac{2\cdot15+5\cdot25+3\cdot35}{10}=26. Phương án A là giá trị đại diện của nhóm giữa, phương án C chia cho 33, phương án D dùng đầu mút trái.
  2. Phần I, câu 2: C. Tần số tích luỹ là 22, 77, 1010 và 3n4=7,5\dfrac{3n}{4}=7{,}5; nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ ≥7,5\ge7{,}5 là [30;40)[30; 40). Phương án B là nhóm có tần số lớn nhất.
  3. Phần I, câu 3: C. Ta thu hẹp không gian mẫu về BB, nên chia cho P(B)P(B). Phương án A là P(B∣A)P(B\mid A); phương án B chỉ đúng với P(A∩B)P(A\cap B) khi AA, BB độc lập.
  4. Phần I, câu 4: A. P(A∩B)=P(A)⋅P(B∣A)=0,3⋅0,5=0,15P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)=0{,}3\cdot0{,}5=0{,}15. Phương án B cộng hai số, phương án C chia 0,30{,}3 cho 0,50{,}5.
  5. Phần II, câu 1: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai. a) Đúng. b) Đúng: còn 44 bi đỏ trong 77 bi. c) Đúng: 58⋅47=2056=514\dfrac58\cdot\dfrac47=\dfrac{20}{56}=\dfrac5{14}. d) Sai: theo công thức xác suất toàn phần, 58⋅47+38⋅57=3556=58\dfrac58\cdot\dfrac47+\dfrac38\cdot\dfrac57=\dfrac{35}{56}=\dfrac58.
  6. Phần III, câu 1: 1,55. Giá trị đại diện 11, 33, 55 và xˉ=3\bar x=3. s2=3⋅4+4⋅0+3⋅410=2,4s^2=\dfrac{3\cdot4+4\cdot0+3\cdot4}{10}=2{,}4, nên s=2,4≈1,549s=\sqrt{2{,}4}\approx1{,}549, làm tròn được 1,551{,}55.
  7. Phần III, câu 2: 0,57. P(A)=0,4⋅0,5+0,6⋅0,25=0,35P(A)=0{,}4\cdot0{,}5+0{,}6\cdot0{,}25=0{,}35, nên P(B∣A)=0,20,35≈0,571P(B\mid A)=\dfrac{0{,}2}{0{,}35}\approx0{,}571, làm tròn được 0,570{,}57.