Xác suất có điều kiện

Một trường khảo sát $200$ học sinh lớp 12 về việc tham gia câu lạc bộ thể thao:

	Có tham gia	Không tham gia	Tổng
Nam	$60$	$40$	$100$
Nữ	$30$	$70$	$100$
Tổng	$90$	$110$	$200$

Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xác suất bạn đó tham gia câu lạc bộ là $\dfrac{90}{200}=0{,}45$ . Nhưng nếu ta biết thêm bạn được chọn là nữ, thì xác suất bạn ấy tham gia câu lạc bộ là bao nhiêu?

Khám phá: thu hẹp không gian mẫu

Khi đã biết bạn được chọn là nữ, ta chỉ còn xét $100$ bạn nữ ở hàng thứ hai. Trong đó có $30$ bạn tham gia, nên xác suất cần tìm là

$\frac{30}{100}=0{,}3.$

Con số này khác $0{,}45$ : thông tin "là nữ" đã làm thay đổi xác suất. Ta cũng có thể viết nó bằng các xác suất trên toàn bộ $200$ học sinh:

$\frac{30}{100}=\frac{30/200}{100/200}=\frac{P(\text{nữ và tham gia})}{P(\text{nữ})}=\frac{0{,}15}{0{,}5}=0{,}3.$

Vì sao như vậy? Biết $B$ đã xảy ra nghĩa là chỉ những kết quả trong $B$ còn có thể xảy ra, nên $B$ đóng vai trò không gian mẫu mới. Trong đó, các kết quả làm $A$ xảy ra chính là $A\cap B$ . Chia cho $P(B)$ để tổng xác suất trong "không gian mới" bằng $1$ .

Từ định nghĩa ta có $P(\overline{A}\mid B)=1-P(A\mid B)$ , giống như với xác suất thông thường.

Thứ tự hai biến cố trong $P(A\mid B)$ rất quan trọng, như ví dụ sau cho thấy.

Công thức nhân và sơ đồ cây

Nhân hai vế của định nghĩa với $P(B)$ , ta được một công thức để tính xác suất của giao.

Công thức này đặc biệt có ích khi một phép thử diễn ra theo từng bước. Trên sơ đồ cây, mỗi nhánh ghi xác suất có điều kiện của bước đó, và xác suất của một đường đi bằng tích các số trên đường đi.

Ví dụ Lấy bi không hoàn lại

Một hộp có $5$ viên bi đỏ và $3$ viên bi xanh. Lấy lần lượt hai viên, không hoàn lại. Tính xác suất cả hai viên đều đỏ, và xác suất viên thứ hai đỏ biết viên thứ nhất xanh.

Lời giải. Gọi $D_1$ , $D_2$ : "viên thứ nhất, thứ hai màu đỏ". Lần đầu có $5$ đỏ trong $8$ viên. Nếu lần đầu đã lấy một viên đỏ thì còn $4$ đỏ trong $7$ viên:

$P(D_1\cap D_2)=P(D_1)\cdot P(D_2\mid D_1)=\frac58\cdot\frac47=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}.$

Nếu lần đầu lấy viên xanh thì hộp còn $5$ đỏ, $2$ xanh, nên $P(D_2\mid \overline{D_1})=\dfrac57$ .

Sơ đồ cây lấy hai viên bi không hoàn lại

Tổng bốn số ở đầu mút là $\dfrac{20+15+15+6}{56}=1$ , một cách kiểm tra nhanh.

Biến cố độc lập

Ở lớp 11, hai biến cố gọi là độc lập khi việc xảy ra hay không của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia. Với xác suất có điều kiện, ta viết điều đó thành công thức: khi $P(B)>0$ ,

$A \text{ và } B \text{ độc lập}\iff P(A\mid B)=P(A)\iff P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).$

Đẳng thức thứ hai suy ra từ công thức nhân. Trong ví dụ lấy bi không hoàn lại, $P(D_2\mid D_1)=\dfrac47$ còn $P(D_2\mid\overline{D_1})=\dfrac57$ , nên $D_1$ và $D_2$ không độc lập.

Ví dụ cuối là một tình huống y tế, nơi nhầm lẫn giữa $P(A\mid B)$ và $P(B\mid A)$ có thể gây hiểu lầm nghiêm trọng.

Ví dụ Kết quả xét nghiệm

Một đợt xét nghiệm sàng lọc $1000$ người cho kết quả sau:

	Mắc bệnh	Không mắc bệnh	Tổng
Dương tính	$45$	$95$	$140$
Âm tính	$5$	$855$	$860$
Tổng	$50$	$950$	$1000$

Chọn ngẫu nhiên một người. Tính xác suất người đó dương tính biết người đó mắc bệnh, và xác suất người đó mắc bệnh biết người đó dương tính.

Lời giải. Câu hỏi thứ nhất chỉ xét cột "Mắc bệnh", câu hỏi thứ hai chỉ xét hàng "Dương tính":

$P(\text{dương tính}\mid\text{bệnh})=\frac{45}{50}=0{,}9,\qquad P(\text{bệnh}\mid\text{dương tính})=\frac{45}{140}=\frac{9}{28}\approx0{,}32.$

Xét nghiệm phát hiện $90\%$ người bệnh, nhưng trong số người dương tính chỉ khoảng $32\%$ thực sự mắc bệnh, vì số người khoẻ rất đông nên $95$ ca dương tính giả nhiều hơn $45$ ca thật. Bài sau sẽ giải thích hiện tượng này bằng công thức Bayes.

Chú ý Những sai lầm thường gặp

Nhầm $P(A\mid B)$ với $P(B\mid A)$ . Sai: "xét nghiệm đúng với $90\%$ người bệnh, nên người dương tính có $90\%$ khả năng mắc bệnh". Lí do sai: đó là $P(\text{dương}\mid\text{bệnh})$ , không phải $P(\text{bệnh}\mid\text{dương})$ . Đúng: $P(\text{bệnh}\mid\text{dương})=\dfrac{45}{140}\approx0{,}32$ .
Chia cho cả không gian mẫu. Sai: ở ví dụ xúc xắc, $P(A\mid B)=\dfrac{2}{36}$ . Lí do sai: khi đã biết $B$ xảy ra thì chỉ còn $5$ kết quả. Đúng: $\dfrac25$ .
Chia nhầm mẫu số. Sai: $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ . Lí do sai: điều kiện là $B$ , nên chia cho $P(B)$ .
Nhân như thể độc lập khi không hoàn lại. Sai: $P(\text{hai viên đỏ})=\dfrac58\cdot\dfrac58=\dfrac{25}{64}$ . Lí do sai: lấy viên đầu xong thì hộp đã thay đổi. Đúng: $\dfrac58\cdot\dfrac47=\dfrac5{14}$ .

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
xác suất có điều kiện	conditional probability
biến cố giao	intersection of events
bảng hai chiều	two-way table
sơ đồ cây	tree diagram
công thức nhân xác suất	multiplication rule
biến cố độc lập	independent events
lấy không hoàn lại	drawing without replacement
dương tính giả	false positive

Tóm tắt

$P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ (với $P(B)>0$ ); đồng khả năng thì $\dfrac{n(A\cap B)}{n(B)}$ .
Biết $B$ xảy ra nghĩa là thu hẹp không gian mẫu về $B$ ; trên bảng hai chiều, chỉ đọc hàng hoặc cột của $B$ .
$P(A\mid B)$ và $P(B\mid A)$ nói chung khác nhau.
Công thức nhân: $P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)$ ; trên sơ đồ cây, nhân các xác suất dọc một đường đi.
$A$ , $B$ độc lập $\iff P(A\mid B)=P(A)\iff P(A\cap B)=P(A)P(B)$ .

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Gieo một con xúc xắc cân đối. Biết xuất hiện mặt lẻ, tính xác suất số chấm không vượt quá $3$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $P(A\mid B)=\dfrac{n(A\cap B)}{n(B)}$ khi các kết quả đồng khả năng.

Gợi ý các bước:

Liệt kê $B=\{1; 3; 5\}$ .
Đếm các phần tử của $B$ không vượt quá $3$ .

Xem lời giải

$A\cap B=\{1; 3\}$ , nên $P(A\mid B)=\dfrac23$ .

Đáp số. $\dfrac23$ .

Bài 2

Một lớp có $40$ học sinh: $20$ nam, trong đó $14$ bạn thích môn Toán; $20$ nữ, trong đó $10$ bạn thích môn Toán. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất bạn đó thích Toán biết đó là bạn nữ, và xác suất bạn đó là nam biết bạn thích Toán.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: lập bảng hai chiều; điều kiện nằm ở hàng nào (cột nào) thì chỉ đọc hàng (cột) đó.

Gợi ý các bước:

Số bạn thích Toán: $14+10=24$ .
Tính $\dfrac{10}{20}$ và $\dfrac{14}{24}$ .

Xem lời giải

$P(\text{thích Toán}\mid\text{nữ})=\dfrac{10}{20}=\dfrac12$ ; $P(\text{nam}\mid\text{thích Toán})=\dfrac{14}{24}=\dfrac{7}{12}$ .

Đáp số. $\dfrac12$ và $\dfrac7{12}$ .

Bài 3

Cho $P(A)=0{,}5$ , $P(B)=0{,}4$ , $P(A\cap B)=0{,}2$ . Tính $P(A\mid B)$ , $P(B\mid A)$ và cho biết $A$ , $B$ có độc lập không.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: định nghĩa xác suất có điều kiện; độc lập khi $P(A\mid B)=P(A)$ .

Gợi ý các bước:

Chia $P(A\cap B)$ cho $P(B)$ , rồi cho $P(A)$ .
So sánh $P(A\mid B)$ với $P(A)$ .

Xem lời giải

$P(A\mid B)=\dfrac{0{,}2}{0{,}4}=0{,}5$ , $P(B\mid A)=\dfrac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4$ . Vì $P(A\mid B)=P(A)$ nên $A$ , $B$ độc lập.

Đáp số. $0{,}5$ ; $0{,}4$ ; độc lập.

Bài 4

Một hộp có $4$ viên bi trắng và $6$ viên bi đen. Lấy lần lượt hai viên không hoàn lại. Tính xác suất cả hai viên đều đen, và xác suất viên thứ hai trắng biết viên thứ nhất đen.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: công thức nhân $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$ ; sau lần lấy đầu, hộp còn $9$ viên.

Gợi ý các bước:

$P(\text{đen lần 1})=\dfrac{6}{10}$ , $P(\text{đen lần 2}\mid\text{đen lần 1})=\dfrac59$ .
Nếu lần đầu đen thì còn $4$ trắng trong $9$ viên.

Xem lời giải

$P(\text{hai viên đen})=\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac59=\dfrac13$ . $P(\text{trắng lần 2}\mid\text{đen lần 1})=\dfrac49$ .

Đáp số. $\dfrac13$ và $\dfrac49$ .

Bài 5

Một hộp có $10$ tấm thẻ đánh số từ $1$ đến $10$ . Rút ngẫu nhiên một thẻ. Gọi $A$ : "số trên thẻ chẵn", $B$ : "số trên thẻ lớn hơn hoặc bằng $7$ ". Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) $P(B)=0{,}4$ .

b) $P(A\mid B)=\dfrac12$ .

c) $P(B\mid A)=\dfrac25$ .

d) $A$ và $B$ không độc lập.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $P(A\mid B)=\dfrac{n(A\cap B)}{n(B)}$ ; độc lập khi $P(A\mid B)=P(A)$ .

Gợi ý các bước:

Liệt kê $B=\{7; 8; 9; 10\}$ và $A\cap B=\{8; 10\}$ .
So sánh $P(A\mid B)$ với $P(A)=\dfrac12$ .

Xem lời giải

a) Đúng: $P(B)=\dfrac4{10}=0{,}4$ .

b) Đúng: $P(A\mid B)=\dfrac24=\dfrac12$ .

c) Đúng: $A$ có $5$ phần tử, trong đó $8$ và $10$ thuộc $B$ , nên $P(B\mid A)=\dfrac25$ .

d) Sai: $P(A\mid B)=\dfrac12=P(A)$ , nên $A$ và $B$ độc lập.

Đáp số. a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Bài 6

Gieo hai con xúc xắc cân đối. Biết có ít nhất một con xuất hiện mặt $6$ chấm, tính xác suất tổng số chấm ít nhất là $10$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: đếm trên không gian mẫu thu hẹp.

Gợi ý các bước:

Đếm số kết quả có ít nhất một mặt $6$ : $36-25=11$ .
Trong đó đếm các kết quả có tổng $\ge10$ .

Xem lời giải

Các kết quả có mặt $6$ và tổng $\ge10$ : $(4; 6)$ , $(6; 4)$ , $(5; 6)$ , $(6; 5)$ , $(6; 6)$ . Xác suất là $\dfrac5{11}\approx0{,}4545$ .

Đáp số. $0{,}45$ .

Bài 7

Ở một quán cà phê, $70\%$ khách gọi đồ uống có cà phê và $40\%$ trong số đó gọi thêm bánh. Ngoài ra, $35\%$ tổng số khách có gọi bánh. Tính xác suất một khách gọi cả cà phê và bánh, và xác suất một khách gọi cà phê biết khách đó có gọi bánh.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: " $40\%$ trong số đó" là xác suất có điều kiện $P(\text{bánh}\mid\text{cà phê})=0{,}4$ .

Gợi ý các bước:

Dùng công thức nhân.
Chia cho $P(\text{bánh})=0{,}35$ .

Xem lời giải

$P(\text{cà phê và bánh})=0{,}7\cdot0{,}4=0{,}28$ . $P(\text{cà phê}\mid\text{bánh})=\dfrac{0{,}28}{0{,}35}=0{,}8$ .

Đáp số. $0{,}28$ và $0{,}8$ .

Bài 8 Ôn tập

Hai xạ thủ bắn độc lập vào một mục tiêu, mỗi người một viên, với xác suất trúng lần lượt $0{,}8$ và $0{,}7$ . Biết mục tiêu bị trúng ít nhất một viên, tính xác suất cả hai người đều bắn trúng (làm tròn đến hàng phần trăm).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: quy tắc nhân cho biến cố độc lập (lớp 11) và biến cố đối: $P(\text{ít nhất một})=1-P(\text{không ai trúng})$ .

Gợi ý các bước:

$P(\text{cả hai trúng})=0{,}8\cdot0{,}7$ .
$P(\text{ít nhất một trúng})=1-0{,}2\cdot0{,}3$ ; "cả hai trúng" nằm trong "ít nhất một trúng".

Xem lời giải

$P(\text{cả hai})=0{,}56$ , $P(\text{ít nhất một})=1-0{,}06=0{,}94$ . Vì "cả hai trúng" kéo theo "ít nhất một trúng", giao của chúng là "cả hai trúng", nên xác suất cần tìm là $\dfrac{0{,}56}{0{,}94}=\dfrac{28}{47}\approx0{,}596$ .

Đáp số. $\approx0{,}60$ .

Bài 9 Ôn tập

Một nhóm có $5$ bạn nam và $4$ bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên $3$ bạn. Biết trong $3$ bạn được chọn có ít nhất một bạn nữ, tính xác suất có đúng một bạn nữ.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: đếm bằng tổ hợp (xem hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp).

Gợi ý các bước:

Số cách có ít nhất một nữ: $C_9^3-C_5^3$ .
Số cách có đúng một nữ: $C_4^1\cdot C_5^2$ .

Xem lời giải

$C_9^3-C_5^3=84-10=74$ và $C_4^1\cdot C_5^2=4\cdot10=40$ . Xác suất là $\dfrac{40}{74}=\dfrac{20}{37}$ .

Đáp số. $\dfrac{20}{37}$ .

Bài 10 Thử thách

Gieo một đồng xu cân đối ba lần. Gọi $A$ : "lần đầu xuất hiện mặt ngửa", $B$ : "có ít nhất hai lần xuất hiện mặt ngửa". Tính $P(A\mid B)$ , $P(B\mid A)$ và cho biết $A$ , $B$ có độc lập không.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: liệt kê $8$ kết quả đồng khả năng; độc lập khi $P(A\mid B)=P(A)$ .

Gợi ý các bước:

Viết $B$ (kí hiệu N là ngửa, S là sấp): NNS, NSN, SNN, NNN.
Đếm $A\cap B$ , rồi chia cho $n(B)$ và cho $n(A)=4$ .

Xem lời giải

$A\cap B=\{\text{NNS}; \text{NSN}; \text{NNN}\}$ có $3$ phần tử. $P(A\mid B)=\dfrac34$ và $P(B\mid A)=\dfrac34$ . Vì $P(A)=\dfrac12\neq\dfrac34$ , hai biến cố không độc lập: biết lần đầu ngửa thì dễ có ít nhất hai mặt ngửa hơn.

Đáp số. $\dfrac34$ ; $\dfrac34$ ; không độc lập.

Xác suất có điều kiện