Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Một xưởng nhỏ đóng chai nước khoáng. Mỗi tháng xưởng mất $2000$ nghìn đồng chi phí cố định (thuê mặt bằng, điện), và mỗi chai tốn thêm $5$ nghìn đồng. Nếu làm $x$ chai, chi phí trung bình cho một chai là $A(x)=\frac{5x+2000}{x}\ \ (\text{nghìn đồng}).$ Làm càng nhiều chai thì chi phí trung bình càng giảm. Liệu nó có giảm xuống dưới $5$ nghìn đồng được không?

Tiệm cận ngang

Khám phá: khi $x$ rất lớn

Ta tính $A(x)$ với vài giá trị lớn của $x$ :

$x$	$100$	$1000$	$10\,000$	$100\,000$
$A(x)$	$25$	$7$	$5{,}2$	$5{,}02$

Các giá trị tiến dần về $5$ nhưng luôn lớn hơn $5$ , vì $A(x)=5+\dfrac{2000}{x}$ . Trên đồ thị, khi $x$ càng lớn, đường cong càng sát đường thẳng $y=5$ mà không chạm vào nó. Đường thẳng như vậy gọi là một tiệm cận.

Vậy để tìm tiệm cận ngang, ta tính hai giới hạn của $f$ tại $+\infty$ và tại $-\infty$ (xem lại giới hạn của hàm số ở lớp 11).

Tiệm cận đứng

Với $y=\dfrac{1}{x-2}$ , khi $x$ đến gần $2$ , mẫu rất nhỏ nên $y$ rất lớn về giá trị tuyệt đối: $y(2{,}01)=100$ , $y(1{,}99)=-100$ . Đồ thị "lao" lên hoặc xuống dọc theo đường thẳng $x=2$ .

Với phân thức, ta tìm các giá trị làm mẫu bằng $0$ , rồi kiểm tra giới hạn tại từng giá trị: chỉ khi giới hạn là vô cực thì mới có tiệm cận đứng.

Ví dụ Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x+1}$ .

Lời giải. Ta tính giới hạn tại vô cực bằng cách chia cả tử và mẫu cho $x$ :

$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x-1}{x+1}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2-\frac1x}{1+\frac1x}=2.$

Mẫu bằng $0$ tại $x=-1$ , còn tử tại đó bằng $-3\neq 0$ . Khi $x\to-1^+$ , mẫu dương và rất nhỏ:

$\lim_{x\to-1^+}\frac{2x-1}{x+1}=-\infty,\qquad \lim_{x\to-1^-}\frac{2x-1}{x+1}=+\infty.$

Vậy đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$ và tiệm cận đứng $x=-1$ .

Đồ thị

y=\dfrac{2x-1}{x+1}

và hai tiệm cận

Tổng quát, đồ thị $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ (với $c\neq0$ , $ad-bc\neq0$ ) có tiệm cận đứng $x=-\dfrac{d}{c}$ và tiệm cận ngang $y=\dfrac{a}{c}$ . Ví dụ sau cho thấy vì sao phải kiểm tra giới hạn chứ không chỉ nhìn mẫu.

Ví dụ Mẫu bằng

0

nhưng không có tiệm cận

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+1}{x^2-1}$ .

Lời giải. Mẫu bằng $0$ tại $x=1$ và $x=-1$ . Với $x\neq\pm1$ , ta rút gọn được:

$y=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x-1}.$

Tại hai giá trị đó, giới hạn cho kết quả khác nhau:

$\lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty,\qquad \lim_{x\to-1}\frac{1}{x-1}=-\frac12\ (\text{hữu hạn}).$

Tại vô cực: $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x-1}=0$ .

Vậy đồ thị có đúng hai tiệm cận: tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=0$ ; đường thẳng $x=-1$ không phải tiệm cận.

Tiệm cận xiên

Có những đồ thị không sát một đường nằm ngang mà sát một đường thẳng nghiêng khi $x\to\pm\infty$ .

Với $y=\dfrac{ax^2+bx+c}{mx+n}$ , cách nhanh nhất là chia đa thức để viết $y=px+q+\dfrac{r}{mx+n}$ . Phần $\dfrac{r}{mx+n}$ dần về $0$ khi $x\to\pm\infty$ , nên tiệm cận xiên là $y=px+q$ .

Đồ thị

y=\dfrac{x^2-x+2}{x-1}

với tiệm cận xiên

y=x

Khi phép chia không thuận tiện, ta dùng công thức giới hạn trong định nghĩa. Ta làm lại với một hàm khác để thấy hai cách cho cùng kết quả.

Ví dụ Dùng công thức giới hạn

Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x^2+3x-1}{x+2}$ .

Lời giải. Ta tính $a$ rồi $b$ khi $x\to+\infty$ (khi $x\to-\infty$ kết quả giống hệt):

$a=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2+3x-1}{x(x+2)}=2,\qquad b=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2x^2+3x-1}{x+2}-2x\right)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x-1}{x+2}=-1.$

Kiểm tra. Phép chia cho $2x^2+3x-1=(x+2)(2x-1)+1$ , tức $y=2x-1+\dfrac{1}{x+2}$ .

Vậy đồ thị có tiệm cận xiên $y=2x-1$ .

Một đồ thị có thể có hai tiệm cận ngang khác nhau ở hai phía, như ví dụ sau.

Ví dụ Hai tiệm cận ngang

Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x}{\sqrt{x^2+4}}$ .

Lời giải. Đưa $x^2$ ra khỏi căn: $\sqrt{x^2+4}=|x|\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}$ . Dấu của $|x|$ khác nhau ở hai phía:

$\lim_{x\to+\infty}\frac{3x}{x\sqrt{1+\frac4{x^2}}}=3,\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{3x}{-x\sqrt{1+\frac4{x^2}}}=-3.$

Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ và liên tục, nên không có tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị có hai tiệm cận ngang: $y=3$ (khi $x\to+\infty$ ) và $y=-3$ (khi $x\to-\infty$ ).

Đồ thị

y=\dfrac{3x}{\sqrt{x^2+4}}

Ý nghĩa thực tế

Ta quay lại câu hỏi về chi phí đóng chai ở đầu bài.

Chú ý Những sai lầm thường gặp

Thấy mẫu bằng $0$ là kết luận có tiệm cận đứng. Sai: " $y=\dfrac{x+1}{x^2-1}$ có hai tiệm cận đứng $x=\pm1$ ". Lí do sai: tại $x=-1$ giới hạn bằng $-\dfrac12$ , hữu hạn. Đúng: chỉ có $x=1$ .
Viết tiệm cận đứng là $y=\dots$ . Sai: tiệm cận đứng $y=-1$ . Lí do sai: đường thẳng đứng có dạng $x=x_0$ . Đúng: tiệm cận đứng $x=-1$ , tiệm cận ngang $y=2$ .
Quên phần dư hoặc sai dấu khi chia. Sai: " $y=\dfrac{x^2-3x+4}{x-2}$ có tiệm cận xiên $y=x+1$ ". Lí do sai: $x^2-3x+4=(x-2)(x-1)+2$ . Đúng: tiệm cận xiên $y=x-1$ .
Bỏ qua dấu của $|x|$ . Sai: " $\sqrt{x^2+4}\approx x$ nên $y=\dfrac{3x}{\sqrt{x^2+4}}$ chỉ có tiệm cận ngang $y=3$ ". Lí do sai: khi $x<0$ thì $\sqrt{x^2}=-x$ . Đúng: còn có $y=-3$ khi $x\to-\infty$ .

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
đường tiệm cận	asymptote
tiệm cận đứng	vertical asymptote
tiệm cận ngang	horizontal asymptote
tiệm cận xiên	oblique (slant) asymptote
giới hạn một bên	one-sided limit
giới hạn tại vô cực	limit at infinity
phép chia đa thức	polynomial division
chi phí trung bình	average cost

Tóm tắt

Tiệm cận ngang $y=y_0$ : $\lim\limits_{x\to+\infty}f=y_0$ hoặc $\lim\limits_{x\to-\infty}f=y_0$ . Tính cả hai phía.
Tiệm cận đứng $x=x_0$ : một giới hạn một bên tại $x_0$ là $\pm\infty$ . Với phân thức: tìm nghiệm của mẫu, rồi kiểm tra giới hạn.
Tiệm cận xiên $y=ax+b$ : $a=\lim\dfrac{f(x)}{x}$ , $b=\lim[f(x)-ax]$ ; với $\dfrac{ax^2+bx+c}{mx+n}$ thì chia đa thức và bỏ phần dư.
$y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ : tiệm cận đứng $x=-\dfrac dc$ , tiệm cận ngang $y=\dfrac ac$ .
Hình vẽ: tiệm cận là đường nét đứt; đồ thị tiến sát chúng nhưng không cần cắt hay chạm.

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x+2}{x-4}$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ có tiệm cận đứng $x=-\dfrac dc$ và tiệm cận ngang $y=\dfrac ac$ .

Gợi ý các bước:

Tính giới hạn khi $x\to\pm\infty$ .
Tìm nghiệm của mẫu, kiểm tra tử khác $0$ tại đó.

Xem lời giải

$\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=3$ . Mẫu bằng $0$ tại $x=4$ , tử bằng $14\neq0$ , nên $\lim\limits_{x\to4^+}y=+\infty$ .

Đáp số. Tiệm cận đứng $x=4$ , tiệm cận ngang $y=3$ .

Bài 2

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\dfrac{1-2x}{x+3}$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: hệ số của $x$ ở tử là $-2$ ; chú ý thứ tự các số hạng.

Gợi ý các bước:

Viết tử thành $-2x+1$ để đọc $a=-2$ .
Tìm nghiệm của mẫu.

Xem lời giải

$\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=\dfrac{-2}{1}=-2$ . Tại $x=-3$ , tử bằng $7\neq0$ , nên $\lim\limits_{x\to-3^+}y=+\infty$ .

Đáp số. Tiệm cận đứng $x=-3$ , tiệm cận ngang $y=-2$ .

Bài 3

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: chia đa thức: $y=px+q+\dfrac{r}{x+1}$ thì tiệm cận xiên là $y=px+q$ .

Gợi ý các bước:

Chia $x^2+2x+3$ cho $x+1$ .
Tìm tiệm cận đứng từ mẫu.

Xem lời giải

$x^2+2x+3=(x+1)(x+1)+2$ , nên $y=x+1+\dfrac{2}{x+1}$ . Phần $\dfrac{2}{x+1}\to0$ khi $x\to\pm\infty$ . Tại $x=-1$ tử bằng $2\neq0$ .

Đáp số. Tiệm cận đứng $x=-1$ , tiệm cận xiên $y=x+1$ .

Bài 4

Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}$ có bao nhiêu đường tiệm cận? Đó là những đường nào?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: nghiệm của mẫu cũng là nghiệm của tử thì có thể rút gọn, và tại đó có thể không có tiệm cận đứng.

Gợi ý các bước:

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, rút gọn.
Kiểm tra giới hạn tại từng nghiệm của mẫu và tại vô cực.

Xem lời giải

$y=\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{x+2}{x-1}$ với $x\neq2$ . Tại $x=2$ : $\lim\limits_{x\to2}y=4$ , hữu hạn. Tại $x=1$ : $\lim\limits_{x\to1^+}y=+\infty$ . Tại vô cực: $\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=1$ .

Đáp số. Hai tiệm cận: tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$ .

Bài 5

Cho hàm số $y=\dfrac{x^2-3x+4}{x-2}$ . Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) Đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị.

b) Đồ thị không có tiệm cận ngang.

c) Đường thẳng $y=x+1$ là tiệm cận xiên của đồ thị.

d) Đồ thị có đúng hai đường tiệm cận.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: chia đa thức để viết $y=px+q+\dfrac{r}{x-2}$ .

Gợi ý các bước:

Chia $x^2-3x+4$ cho $x-2$ .
Kiểm tra từng khẳng định.

Xem lời giải

$x^2-3x+4=(x-2)(x-1)+2$ , nên $y=x-1+\dfrac{2}{x-2}$ .

a) Đúng: tử bằng $2\neq0$ tại $x=2$ , nên $\lim\limits_{x\to2^+}y=+\infty$ .

b) Đúng: $y\to+\infty$ khi $x\to+\infty$ và $y\to-\infty$ khi $x\to-\infty$ .

c) Sai: tiệm cận xiên là $y=x-1$ .

d) Đúng: tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=x-1$ .

Đáp số. a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Bài 6

Tính tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x^2-4}$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì giới hạn tại vô cực bằng $0$ .

Gợi ý các bước:

Tìm nghiệm của mẫu và kiểm tra tử tại đó.
Tính giới hạn tại $\pm\infty$ .

Xem lời giải

Mẫu bằng $0$ tại $x=\pm2$ ; tử tại đó bằng $5$ và $-3$ , đều khác $0$ , nên có hai tiệm cận đứng $x=2$ , $x=-2$ . $\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=0$ , nên có tiệm cận ngang $y=0$ .

Đáp số. $3$ .

Bài 7

Một bể chứa $200$ lít nước sạch. Người ta bơm vào bể nước muối có nồng độ $30$ gam/lít với tốc độ $10$ lít/phút. Sau $t$ phút, nồng độ muối trong bể là $C(t)=\dfrac{30t}{20+t}$ (gam/lít). Tìm tiệm cận ngang của đồ thị $C(t)$ và nêu ý nghĩa.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: lượng muối là $30\cdot10t=300t$ gam, thể tích là $200+10t$ lít; tiệm cận ngang là giới hạn khi $t\to+\infty$ .

Gợi ý các bước:

Kiểm tra công thức: $\dfrac{300t}{200+10t}=\dfrac{30t}{20+t}$ .
Tính $\lim\limits_{t\to+\infty}C(t)$ .

Xem lời giải

$\dfrac{300t}{200+10t}=\dfrac{30t}{20+t}$ (chia tử và mẫu cho $10$ ). $\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{30t}{20+t}=30$ . Chẳng hạn $C(10)=10$ , $C(60)=22{,}5$ , $C(180)=27$ .

Đáp số. Tiệm cận ngang $C=30$ : theo thời gian, nồng độ muối trong bể tiến gần $30$ gam/lít (nồng độ của nước bơm vào) nhưng không vượt quá.

Bài 8 Ôn tập

Tính $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+2x}-x\right)$ , rồi suy ra một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\sqrt{x^2+2x}-x$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: nhân và chia với biểu thức liên hợp $\sqrt{x^2+2x}+x$ để khử dạng $\infty-\infty$ (giới hạn của hàm số, lớp 11).

Gợi ý các bước:

Viết $\sqrt{x^2+2x}-x=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x}$ .
Chia tử và mẫu cho $x$ (với $x>0$ ).

Xem lời giải

$\sqrt{x^2+2x}-x=\dfrac{x^2+2x-x^2}{\sqrt{x^2+2x}+x}=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x}=\dfrac{2}{\sqrt{1+\frac2x}+1}\to\dfrac{2}{2}=1$ .

Đáp số. Giới hạn bằng $1$ ; đường thẳng $y=1$ là tiệm cận ngang (khi $x\to+\infty$ ).

Bài 9 Ôn tập

Chứng minh đồ thị hàm số $y=\dfrac{2x^2-1}{x^2-2x+3}$ không có tiệm cận đứng, rồi tìm tiệm cận ngang.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: tam thức có $\Delta<0$ thì không có nghiệm (xem dấu của tam thức bậc hai).

Gợi ý các bước:

Tính biệt thức của mẫu.
Chia tử và mẫu cho $x^2$ để tính giới hạn tại vô cực.

Xem lời giải

Mẫu $x^2-2x+3$ có $\Delta=4-12=-8<0$ , nên luôn dương: hàm số xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ , không có tiệm cận đứng. $\lim\limits_{x\to\pm\infty}y=\dfrac{2}{1}=2$ .

Đáp số. Không có tiệm cận đứng; tiệm cận ngang $y=2$ .

Bài 10 Thử thách

Tìm các tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\sqrt{x^2+4x}$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $a=\lim\dfrac{f(x)}{x}$ , $b=\lim[f(x)-ax]$ , tính riêng khi $x\to+\infty$ và khi $x\to-\infty$ ; khi $x<0$ thì $\sqrt{x^2}=-x$ .

Gợi ý các bước:

Tìm tập xác định.
Tính $a$ , $b$ khi $x\to+\infty$ (dùng liên hợp).
Làm lại khi $x\to-\infty$ .

Xem lời giải

Tập xác định $(-\infty; -4]\cup[0; +\infty)$ . Khi $x\to+\infty$ : $a=\lim\sqrt{1+\frac4x}=1$ , $b=\lim\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)=\lim\dfrac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}=2$ . Khi $x\to-\infty$ : $\sqrt{x^2+4x}=-x\sqrt{1+\frac4x}$ , nên $a=-1$ và $b=\lim\left(\sqrt{x^2+4x}+x\right)=\lim\dfrac{4x}{\sqrt{x^2+4x}-x}=\lim\dfrac{4}{-\sqrt{1+\frac4x}-1}=-2$ .

Đáp số. Hai tiệm cận xiên: $y=x+2$ (khi $x\to+\infty$ ) và $y=-x-2$ (khi $x\to-\infty$ ).

Tiệm cận ngang

Khám phá: khi $x$ rất lớn

Tiệm cận đứng

Tiệm cận xiên

Ý nghĩa thực tế

Thuật ngữ

Tóm tắt

Luyện tập

Kiểm tra mini

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

a) Đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.	Đúng	Sai
b) Đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.	Đúng	Sai
c) Đường thẳng $y=2x+1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.	Đúng	Sai
d) Tiệm cận xiên của đồ thị cắt hai trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng $\dfrac14$ .	Đúng	Sai

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Tiệm cận ngang

Khám phá: khi xxx rất lớn

Tiệm cận đứng

Tiệm cận xiên

Ý nghĩa thực tế

Thuật ngữ

Tóm tắt

Luyện tập

Kiểm tra mini

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Khám phá: khi $x$ rất lớn